Một công ty chuyên sản xuất chậu trồng cây có dạng hình trụ không có nắp, chậu có thể tích $0 , 5 \textrm{ } m^{3}$. Biết giá vật liệu làm $1 \textrm{ } m^{2}$ mặt xung quanh chậu là $100 . 000$ đồng, để làm $1 \textrm{ } m^{2}$ đáy chậu là $200 . 000$ đồng. Số tiền ít nhất để mua vật liệu làm một chậu gần nhất với số nào dưới đây?

A.  

$349 . 000$ đồng.

B.  

$725 . 000$ đồng.

C.  

$498 . 000$ đồng.

D.  

$369 . 000$ đồng.

Đáp án đúng là: A

Một công ty chuyên sản xuất chậu trồng cây có dạng hình trụ không có nắp, chậu có thể tích $0 , 5 \textrm{ } m^{3}$. Biết giá vật liệu làm $1 \textrm{ } m^{2}$ mặt xung quanh chậu là $100 . 000$ đồng, để làm $1 \textrm{ } m^{2}$ đáy chậu là $200 . 000$ đồng. Số tiền ít nhất để mua vật liệu làm một chậu gần nhất với số nào dưới đây?
A. $349 . 000$ đồng. B. $725 . 000$ đồng. C. $498 . 000$ đồng. D. $369 . 000$ đồng.
Lời giải
Gọi $x \textrm{ } \left( m \right)$, $h \textrm{ } \left( m \right)$ lần lượt là bán kính và chiều cao của chậu hình trụ.
Vì thể tích chậu bằng $0 , 5 \textrm{ } m^{3}$ nên $\pi x^{2} h = 0 , 5 \Rightarrow h = \dfrac{0 , 5}{\pi x^{2}}$.
Diện tích xung quanh của chậu là $2 \pi x h \textrm{ }\textrm{ } \left( m^{2} \right)$ nên số tiền mua vật liệu để làm mặt xung quanh là $2 \pi x h . 100 . 000 = 2 \pi x . \dfrac{0 , 5}{\pi x^{2}} . 100 . 000 = \dfrac{100 . 000}{x} \textrm{ }$(đồng).
Diện tích đáy của chậu là $\pi x^{2} \textrm{ } \left( m^{2} \right)$ nên số tiền mua vật liệu để làm đáy chậu là $\pi x^{2} . 200 . 000 = 200 . 000 \pi x^{2}$ (đồng).
Số tiền mua vật liệu làm một cái chậu là $T = \dfrac{100 . 000}{x} + 200 . 000 \pi x^{2} = \dfrac{50 . 000}{x} + \dfrac{50 . 000}{x} + 200 . 000 \pi x^{2} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{50 . 000}{x} . \dfrac{50 . 000}{x} . 200 . 000 \pi x^{2}}$
hay $T \geq 3 \sqrt[3]{\left(50000\right)^{2} . 200000 . \pi} \approx 348734 , 2055$.