Đề tham khảo minh họa môn Toán năm 2024 của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Cho hàm số $\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số $\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span>\mathrm{<span>5</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>6</span>}{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình ${\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>3</span>}}<span></span>\left({\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>-</span>\mathrm{<span>7</span>}\right)<span>=</span>\mathrm{<span>2</span>}$ là

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, cho hai điểm $\mathrm{<span>A</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span><span>-</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>)</span>$ và $\mathrm{<span>B</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>;</span><span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>)</span>$. Tọa độ của vectơ $\stackrel{<span>\to </span>}{\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}}$ là

Cho hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\frac{\mathrm{<span>a</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>b</span>}}{\mathrm{<span>c</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>d</span>}}<span>(</span>\mathrm{<span>a</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>b</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>c</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>d</span>}<span>\in </span>\mathbb{<span>R</span>}<span>)</span>$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

Tập xác định của hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span><span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>1</span>}{<span>)</span>}^{\sqrt{\mathrm{<span>2</span>}}}$ là

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, cho đường thẳng $\mathrm{<span>d</span>}<span>:</span>\frac{\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}}{\mathrm{<span>2</span>}}<span>=</span>\frac{\mathrm{<span>y</span>}}{\mathrm{<span>1</span>}}<span>=</span>\frac{\mathrm{<span>z</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>2</span>}}{<span>-</span>\mathrm{<span>3</span>}}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $\mathrm{<span>d</span>}$ ?

Điểm $\mathrm{<span>M</span>}$ trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, cho mặt cầu $<span>(</span>\mathrm{<span>S</span>}<span>)</span>$ có tâm $\mathrm{<span>I</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span><span>-</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>)</span>$ và bán kính $\mathrm{<span>R</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>5</span>}$. Phương trình của $<span>(</span>\mathrm{<span>S</span>}<span>)</span>$ là

Với $\mathrm{<span>a</span>}$ là số thực dương tùy ý, ${\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>2</span>}}<span></span>{\mathrm{<span>a</span>}}^{\frac{\mathrm{<span>1</span>}}{\mathrm{<span>3</span>}}}$ bằng

Cho hàm số bậc bốn $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $\mathrm{<span>5</span>}{\mathrm{<span>a</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}$ và chiều cao bằng $\mathrm{<span>6</span>}\mathrm{<span>a</span>}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\mathrm{<span>2</span>}}^{\mathrm{<span>x</span>}}<span><</span>\mathrm{<span>5</span>}$ là

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $<span>(</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>;</span><span>+</span>\mathrm{<span>\infty </span>}<span>)</span>$ ?

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $<span>(</span>\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}<span>)</span>$ ?

Cho hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ có đạo hàm ${\mathrm{<span>f</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span><span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>)</span><span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>)</span><span>,</span><span>\forall </span>\mathrm{<span>x</span>}<span>\in </span>\mathbb{<span>R</span>}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Nếu ${<span>\int </span>}_{\mathrm{<span>1</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span> </span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>3</span>}$ và ${<span>\int </span>}_{\mathrm{<span>1</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span> </span>\mathrm{<span>g</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>5</span>}$ thì ${<span>\int </span>}_{\mathrm{<span>1</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span> </span><span>(</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>-</span>\mathrm{<span>g</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}$ bằng

Nếu ${<span>\int </span>}_{<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span> </span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>3</span>}$ thì ${<span>\int </span>}_{\mathrm{<span>2</span>}}^{<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}}<span> </span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}$ bằng

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $\mathrm{<span>7</span>}{\mathrm{<span>a</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}$ và chiều cao bằng $\mathrm{<span>9</span>}\mathrm{<span>a</span>}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho hai số phức ${\mathrm{<span>z</span>}}_{\mathrm{<span>1</span>}}<span>=</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>3</span>}\mathrm{<span>i</span>}$ và ${\mathrm{<span>z</span>}}_{\mathrm{<span>2</span>}}<span>=</span><span>-</span>\mathrm{<span>4</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>i</span>}$. Số phức ${\mathrm{<span>z</span>}}_{\mathrm{<span>1</span>}}<span>+</span>{\mathrm{<span>z</span>}}_{\mathrm{<span>2</span>}}$ bằng

Cho hình nón có bán kính đáy $\mathrm{<span>r</span>}$, chiều cao $\mathrm{<span>h</span>}$ và độ dài đường $\mathrm{<span>s</span>}\mathrm{<span>i</span>}\mathrm{<span>n</span>}\mathrm{<span>h</span>}<span></span>\mathrm{<span>l</span>}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có đúng một học sinh ngồi?

Hàm số $\mathrm{<span>F</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span>{\mathrm{<span>e</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}\mathrm{<span>x</span>}}$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Cho hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\frac{\mathrm{<span>a</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>b</span>}}{\mathrm{<span>c</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>d</span>}}<span>(</span>\mathrm{<span>a</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>b</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>c</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>d</span>}<span>\in </span>\mathbb{<span>R</span>}<span>)</span>$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $\mathrm{<span>r</span>}$ và diện tích xung quanh bằng $\mathrm{<span>S</span>}$. Chiều cao của hình trụ đã cho bằng

Cho cấp số cộng $\left({\mathrm{<span>u</span>}}_{\mathrm{<span>n</span>}}\right)$ với ${\mathrm{<span>u</span>}}_{\mathrm{<span>1</span>}}<span>=</span>\mathrm{<span>3</span>}$ và ${\mathrm{<span>u</span>}}_{\mathrm{<span>2</span>}}<span>=</span>\mathrm{<span>7</span>}$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Số phức $\mathrm{<span>z</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>4</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>5</span>}\mathrm{<span>i</span>}$ có phần ảo bằng

Cho số phức $\mathrm{<span>z</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>i</span>}$, phần thực của số phức $<span>(</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>i</span>}<span>)</span>\stackrel{\mathrm{<span>‾</span>}}{\mathrm{<span>z</span>}}$ bằng

Cho hình lập phương $\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}\mathrm{<span>D</span>}<span>\cdot </span>{\mathrm{<span>A</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}{\mathrm{<span>B</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}{\mathrm{<span>C</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}{\mathrm{<span>D</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}$ (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{<span>C</span>}\mathrm{<span>D</span>}$ và $\mathrm{<span>A</span>}{\mathrm{<span>B</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}$ bằng

Cho hình chóp $\mathrm{<span>S</span>}<span>.</span>\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}\mathrm{<span>D</span>}$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $\mathrm{<span>a</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>S</span>}\mathrm{<span>A</span>}$ vuông góc với mặt phẳng $<span>(</span>\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}\mathrm{<span>D</span>}<span>)</span>$ và $\mathrm{<span>S</span>}\mathrm{<span>A</span>}<span>=</span>\frac{\sqrt{\mathrm{<span>3</span>}}\mathrm{<span>a</span>}}{\mathrm{<span>3</span>}}$. Khoảng cách từ điểm $\mathrm{<span>A</span>}$ đến mặt phẳng $<span>(</span>\mathrm{<span>S</span>}\mathrm{<span>C</span>}\mathrm{<span>D</span>}<span>)</span>$ bằng

Cho hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ có đạo hàm ${\mathrm{<span>f</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span><span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>)</span><span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>)</span><span>,</span><span>\forall </span>\mathrm{<span>x</span>}<span>\in </span>\mathbb{<span>R</span>}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ bằng

Nếu ${<span>\int </span>}_{<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span> </span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>4</span>}$ thì ${<span>\int </span>}_{<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span> </span><span>(</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}$ bằng

Giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span><span>-</span>{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>4</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>6</span>}{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>-</span>\mathrm{<span>4</span>}$ bằng

Với $\mathrm{<span>a</span>}$ là số thực dương tùy ý, ${\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>2</span>}}<span></span>\left(\mathrm{<span>32</span>}{\mathrm{<span>a</span>}}^{\mathrm{<span>4</span>}}\right)$ bằng

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, mặt cầu có tâm $\mathrm{<span>I</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>4</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>)</span>$ và đi qua điểm $\mathrm{<span>M</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>;</span><span>-</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>)</span>$ có phương trình là

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, cho ba điểm $\mathrm{<span>A</span>}<span>(</span><span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>)</span><span>,</span>\mathrm{<span>B</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>)</span>$ và $\mathrm{<span>C</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>)</span>$. Đường thẳng đi qua $\mathrm{<span>A</span>}$ và song song với $\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}$ có phương trình là

Cho $\mathrm{<span>a</span>}$ và $\mathrm{<span>b</span>}$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn ${\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>a</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span></span>\left({\mathrm{<span>a</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}\mathrm{<span>b</span>}\right)<span>\cdot </span>{\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>a</span>}}<span></span>\frac{\mathrm{<span>b</span>}}{\mathrm{<span>a</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>4</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>0</span>}$. Giá trị của ${\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>b</span>}}<span></span>\mathrm{<span>a</span>}$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\mathrm{<span>m</span>}$ thuộc đoạn $<span>[</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>20</span>}<span>]</span>$ sao cho ứng với mỗi $\mathrm{<span>m</span>}$, hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\frac{<span>-</span>{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>3</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>m</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}}{\mathrm{<span>3</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>m</span>}}$ đồng biến trên khoảng $<span>(</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>)</span>$ ?

Xét $\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span>\mathrm{<span>a</span>}{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>4</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>b</span>}{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>c</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>a</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>b</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>c</span>}<span>\in </span>\mathbb{<span>R</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>a</span>}<span>></span>\mathrm{<span>0</span>}<span>)</span>$ sao cho đồ thị hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ có ba điểm cực trị là $\mathrm{<span>A</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>B</span>}$ và $\mathrm{<span>C</span>}\left(\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span><span>-</span>\frac{\mathrm{<span>3</span>}}{\mathrm{<span>5</span>}}\right)$. Gọi $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>g</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm $\mathrm{<span>A</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>B</span>}$ và $\mathrm{<span>C</span>}$. Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>,</span>\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>g</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ và hai đường thẳng $\mathrm{<span>x</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>1</span>}$ có diện tích bằng $\frac{\mathrm{<span>2</span>}}{\mathrm{<span>5</span>}}$, tích phân ${<span>\int </span>}_{\mathrm{<span>0</span>}}^{\mathrm{<span>1</span>}}<span> </span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>\mathrm{<span>d</span>}\mathrm{<span>x</span>}$ bằng

Xét các số phức $\mathrm{<span>z</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>w</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>w</span>}<span>\ne </span>\mathrm{<span>2</span>}<span>)</span>$ thỏa mãn $<span>|</span>\mathrm{<span>z</span>}<span>|</span><span>=</span>\mathrm{<span>1</span>}$ và $\frac{\mathrm{<span>w</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>2</span>}}{\mathrm{<span>w</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>2</span>}}$ là số thuần ảo. Khi $<span>|</span>\mathrm{<span>z</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>w</span>}<span>|</span><span>=</span>\sqrt{\mathrm{<span>3</span>}}$, giá trị của $<span>|</span>\mathrm{<span>2</span>}\mathrm{<span>z</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>w</span>}<span>|</span>$ bằng

Cho khối lăng trụ $\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}<span>\cdot </span>{\mathrm{<span>A</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}{\mathrm{<span>B</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}{\mathrm{<span>C</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}$ có đáy $\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}$ là tam giác vuông cân tại $\mathrm{<span>A</span>}$, ${\mathrm{<span>A</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}\mathrm{<span>A</span>}<span>=</span>{\mathrm{<span>A</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}\mathrm{<span>B</span>}<span>=</span>{\mathrm{<span>A</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}\mathrm{<span>C</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>a</span>}$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left(\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}{\mathrm{<span>C</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}{\mathrm{<span>B</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}\right)$ và $<span>(</span>\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}<span>)</span>$ bằng ${\mathrm{<span>30</span>}}^{<span>\circ </span>}$, thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, cho điểm $\mathrm{<span>A</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span><span>-</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>)</span>$ và mặt cầu $<span>(</span>\mathrm{<span>S</span>}<span>)</span><span>:</span>{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>+</span>{\mathrm{<span>y</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>+</span>{\mathrm{<span>z</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>=</span>\mathrm{<span>1</span>}$. Biết $\mathrm{<span>B</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>C</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>D</span>}$ là ba điểm phân biệt trên $<span>(</span>\mathrm{<span>S</span>}<span>)</span>$ sao cho các tiếp diện của $<span>(</span>\mathrm{<span>S</span>}<span>)</span>$ tại mỗi điểm đó đều đi qua $\mathrm{<span>A</span>}$. Hỏi mặt phẳng $<span>(</span>\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}\mathrm{<span>D</span>}<span>)</span>$ đi qua điểm nào dưới đây?

Để chế tạo một chi tiết máy, từ một khối thép hình trụ có bán kính $\mathrm{<span>10</span>}\text{<span> </span>}\mathrm{<span>c</span>}\mathrm{<span>m</span>}$ và chiều cao $\mathrm{<span>30</span>}\text{<span> </span>}\mathrm{<span>c</span>}\mathrm{<span>m</span>}$, người ta khoét bỏ một rãnh xung quanh rộng $\mathrm{<span>1</span>}\text{<span> </span>}\mathrm{<span>c</span>}\mathrm{<span>m</span>}$ và sâu $\mathrm{<span>1</span>}\text{<span> </span>}\mathrm{<span>c</span>}\mathrm{<span>m</span>}$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích của chi tiết máy đó, làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.

Xét các số thực không âm $\mathrm{<span>x</span>}$, $\mathrm{<span>y</span>}$ thỏa mãn $\mathrm{<span>y</span>}{\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>3</span>}}<span></span><span>(</span>\mathrm{<span>3</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>y</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>9</span>}<span>)</span><span>=</span>\left({\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>3</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>y</span>}\right){\mathrm{<span>l</span>}\mathrm{<span>o</span>}\mathrm{<span>g</span>}}_{\mathrm{<span>3</span>}}<span></span><span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>)</span>$. Khi biểu thức $\mathrm{<span>y</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>5</span>}\mathrm{<span>x</span>}$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức $\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>2</span>}\mathrm{<span>y</span>}$ bằng

Xét các số phức $\mathrm{<span>z</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>w</span>}$ thỏa mãn $<span>|</span>\mathrm{<span>z</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>w</span>}<span>|</span><span>=</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>|</span>\mathrm{<span>z</span>}<span>|</span><span>=</span>\mathrm{<span>2</span>}$ và số phức $\stackrel{\mathrm{<span>‾</span>}}{\mathrm{<span>z</span>}}<span>.</span>\mathrm{<span>w</span>}$ có phần thực bằng 1 . Giá trị lớn nhất của $\mathrm{<span>P</span>}<span>=</span><span>|</span>\mathrm{<span>z</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>w</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>2</span>}\mathrm{<span>i</span>}<span>|</span>$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $<span>(</span>\mathrm{<span>R</span>}<span>)</span>$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục $\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}$. Miền $<span>(</span>\mathrm{<span>R</span>}<span>)</span>$ được giới hạn bởi các cạnh $\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>D</span>}$ của hình vuông $\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}\mathrm{<span>D</span>}$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $\mathrm{<span>1</span>}\text{<span> </span>}\mathrm{<span>c</span>}\mathrm{<span>m</span>}$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $\mathrm{<span>B</span>}\mathrm{<span>C</span>}<span>,</span>\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>D</span>}$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Cho hàm số $\mathrm{<span>y</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>f</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span>$ có đạo hàm ${\mathrm{<span>f</span>}}^{\mathrm{<span>\text{'}</span>}}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span>{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>-</span>\mathrm{<span>3</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>4</span>}<span>,</span><span>\forall </span>\mathrm{<span>x</span>}<span>\in </span>\mathbb{<span>R</span>}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\mathrm{<span>m</span>}$ sao cho ứng với mỗi $\mathrm{<span>m</span>}$, hàm số $\mathrm{<span>g</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>)</span><span>=</span>\mathrm{<span>f</span>}\left(<span>-</span>{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>3</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>3</span>}{\mathrm{<span>x</span>}}^{\mathrm{<span>2</span>}}<span>+</span>\mathrm{<span>m</span>}\right)$ có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng $<span>(</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>4</span>}<span>)</span>$ ?

Trong không gian $\mathrm{<span>O</span>}\mathrm{<span>x</span>}\mathrm{<span>y</span>}\mathrm{<span>z</span>}$, cho hình nón $<span>(</span>\mathcal{<span>N</span>}<span>)</span>$ có đỉnh $\mathrm{<span>A</span>}<span>(</span>\mathrm{<span>2</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>3</span>}<span>;</span>\mathrm{<span>0</span>}<span>)</span>$, độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng $<span>(</span>\mathrm{<span>P</span>}<span>)</span><span>:</span>\mathrm{<span>2</span>}\mathrm{<span>x</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>y</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>2</span>}\mathrm{<span>z</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>1</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>0</span>}$. Gọi $<span>(</span>\mathrm{<span>C</span>}<span>)</span>$ là giao tuyến của mặt xung quanh của $<span>(</span>\mathcal{<span>N</span>}<span>)</span>$ với mặt phẳng $<span>(</span>\mathrm{<span>Q</span>}<span>)</span><span>:</span>\mathrm{<span>x</span>}<span>-</span>\mathrm{<span>4</span>}\mathrm{<span>y</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>z</span>}<span>+</span>\mathrm{<span>4</span>}<span>=</span>\mathrm{<span>0</span>}$ và $\mathrm{<span>M</span>}$ là một điểm di động trên $<span>(</span>\mathrm{<span>C</span>}<span>)</span>$. Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $\mathrm{<span>A</span>}\mathrm{<span>M</span>}$ thuộc khoảng nào dưới đây?