Bài tập Toán 9 Chủ đề 4: Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học có đáp án

Cho đ­ường tròn (O) đ­ường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đ­ường tròn   $$ ( C ≠ A    ;    C    ≠    B    ) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ­ường tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.

Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .

Cho đường tròn tâm O  , đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn(O)  tại A lấy điểm  M $$ M ≠ A  . Từ  vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) ( C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc vớiAB $$ H ∈ A B ,MB   cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại K. Chứng minh rằng:

c, Chứng minh rằng: $$ K A C ^ = O M B ^

Cho đường tròn (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến  AB và AC với đường tròn. Kẻ dây $$ C D // A B . Nối AD cắt đường tròn (O) tại E . Chứng minh:

Chứng minh:

b/  $$ A B 2 = A E . A D .

Chứng minh:

c/ $$ Δ B D C  cân.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB;  IK vuông góc với AD ( $$ H ∈ A B ; K ∈ A D ).

a) Chứng minh tứ giác $$ A H I K  nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng $$ I A . I C = I B . I D

Cho $$ ∆ A B C  có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm  D và E Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng  CD và BE

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

Cho   $$ Δ A B C   có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)  . Đường cao CD của $$ Δ A B C  cắt đường tròn (O)   tại E . Từ B kẻ $$ B F ⊥ A E  tại F .

a) Chứng minh tứ giác $$ B D E F  nội tiếp được đường tròn.

b) Kẻ đường cao BK của $$ Δ A B C . Chứng minh: $$ E F B F = C K B K .

c) Chứng minh: $$ A E B F + A C B K = A F B F + A C B K .

Cho nửa đường tròn (O)  đường kính AB=2R , dây cung AC . Gọi  M là điểm chính giữa cung AC . Đường thẳng kẻ từ C  song song với  BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở  D,  cắt AC  tại  H.

1. Chứng minh tứ giác  $$ C K M H  nội tiếp.

Cho đường tròn tâm O đường kính A , M là một điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( M khác O   và B ). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB cắt (O) tại C, D . Trên tia MD lấy E   nằm ngoài (O) . Đường thẳng AE cắt (O) tại điểm I khác A , đường thẳng BE cắt (O) tại điểm K khác B . Gọi  H là giao điểm của BI và. Chứng minh:

a) Tứ giác $$ M B E I  nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đó.

b) Các tam giác IEH và MEA đồng dạng với nhau.

c, Chứng minh: $$ E C . E D = E H . E M

Cho đường tròn tâm O bán kính R , hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M khác O , đường thẳng CM cắt đường tròn tại N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với dường tròn tại N ở điểm P .

a) Chứng minh: Tứ giác $$ O M N P  nội tiếp.

b) Chứng minh:  $$ Δ M C O = Δ O P M   , suy ra OMPD là hình chữ nhật.

c) Chứng minh:  $$ C M // O P   .

c) Chứng minh:  $$ C M // O P   .

Cho đường tròn (O,R) và AB dây , vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB ). Lấy điểm  thuộc cung nhỏ BC  , DM cắt  AB tại F.

a. Chứng minh tứ giác $$ C K F M nội tiếp.

b. Chứng minh: $$ D F . D M = A D 2 .

c. Tia cắt CM đường thẳng AB tại E . Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AF tại I . Chứng minh: IE=IF

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH . Dựng đường tròn tâm O đường kính AH   cắt AB tại E  , AC cắt tại F  . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E , F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N.

a) Chứng minh rằng tứ giác $$ M E O H  nội tiếp

Cho tam giác ABC  vuông cân tại A , nội tiếp trong đường tròn tâm O . Tiếp tuyến tại  B với đường tròn (O) cắt tia CA tại D . Trên cạnh AB lấy điểm E (  E không trùng với A và B ). Tia CE cắt đường tròn (O) tại F và cắt BD tại K . Tia BF cắt CD tại M .

a) Chứng minh $$ Δ M A B ∽ Δ M F C .

Cho đường tròn (O,R) và hai đường kính AB,CD bất kì. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E,F . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đường thẳng AE, AF.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

b) Chứng minh rằng   $$ C E . D F . E F = A B 3 và  $$ B E 3 B F 3 = C E D F

Cho đường tròn (O,R)  đường kính AB=2R  dây cung MN của (O)  vuông góc AB với tại I sao cho IA<IB . Trên đoạn MI   lấy điểm $$ E ( E ≠ M , E ≠ I ) . Tia AE  cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh tứ giác $$ I E K B  nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh  $$ A M 2 = A E . A K .

c) Chứng minh  $$ A E . A K + B I . B A = 4 R 2 .

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng   $$ D M D E = C M C E

c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi.