Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a .$Gọi $V_{1} , \textrm{ } V_{2} , \textrm{ } V_{3}$ lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$. Tính giá trị $P = \dfrac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}}$.

A.  

$P = \dfrac{\sqrt{3}}{3} .$

B.  

$P = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3} .$

C.  

$P = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} .$

D.  

$P = \dfrac{4 \sqrt{3}}{9} .$

Đáp án đúng là: D

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a .$Gọi $V_{1} , \textrm{ } V_{2} , \textrm{ } V_{3}$ lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$. Tính giá trị $P = \dfrac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}}$.
A. $P = \dfrac{\sqrt{3}}{3} .$B. $P = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3} .$C. $P = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} .$D. $P = \dfrac{4 \sqrt{3}}{9} .$
Lời giải
Ta có $V_{1} = \pi r^{2} h = \pi \left(\left( \dfrac{a \sqrt{2}}{2} \right)\right)^{2} . a = \dfrac{\pi a^{3}}{2}$.
$V_{2} = \dfrac{4}{3} \pi \left(\left( \dfrac{a}{2} \right)\right)^{3} = \dfrac{\pi a^{3}}{6}$
$V_{3} = \dfrac{4}{3} \pi \left(\left( \dfrac{a \sqrt{3}}{2} \right)\right)^{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \pi a^{3}$
Do đó $P = \dfrac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}} = \dfrac{\dfrac{\pi a^{3}}{2} + \dfrac{\pi a^{3}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \pi a^{3}} = \dfrac{4 \sqrt{3}}{9}$.