Cho hàm số $y = f \left( 2 - x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3 f^{2} \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) - \left( m + 2 \right) f \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) + m - 1 = 0$ có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$?

Cho hàm số $y = f \left( 2 - x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3 f^{2} \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) - \left( m + 2 \right) f \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) + m - 1 = 0$ có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$?
A. $7$. B. $- 6$. C. $3$. D. $- 13$.
Lời giải
Xét hàm số $g \left( x \right) = f \left( x^{2} - 4 \text{x} \right)$.
Có $g ' \left( x \right) = \left( 2 \text{x} - 4 \right) f ' \left( x^{2} - 4 \text{x} \right)$. Cho $g ' \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 2 \\ f ' \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) = 0 \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( 1 \right)$.
Ta có: $f ' \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x^{2} - 4 \text{x} = - 4 \\ x^{2} - 4 \text{x}= - \text{2} \\ x^{2} - 4 \text{x}=\text{0} \Leftrightarrow \left[\right. x = 2 \\ x = 2 \pm \sqrt{2} \\ \left[\right. \begin{matrix}x = 0 \\ x = 4\end{matrix}$
Bảng biến thiên

$x$	$0$ $2 - \sqrt{2}$ $2$ $2 + \sqrt{2}$ $4$ $+ \infty$
$g ' \left( x \right)$	$+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$g \left( x \right)$	$2$ $2$ $+ \infty$ $- 2$ $- 3$ $- 3$

Lại có: $3 f^{2} \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) - \left( m + 2 \right) f \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) + m - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 3 g^{2} \left( x \right) - \left( m + 2 \right) g \left( x \right) + m - 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \left( 2 \right)$.
Ta có: $\Delta = \left(\left( m + 2 \right)\right)^{2} - 4 . 3 . \left( m - 1 \right) 0 = m^{2} - 8 m + 16 = \left(\left( m - 4 \right)\right)^{2} > 0 , \forall m \neq 4$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $g \left( x \right) = h \left( m \right)$ có tối đa là 5 nghiệm phân biệt
Do đó, để phương trình $3 f^{2} \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) - \left( m + 2 \right) f \left( x^{2} - 4 \text{x} \right) + m - 1 = 0$ có đúng 8 nghiệm phân biệt thì
TH1. $\left{\right. g \left( x \right) = 2 \\ - 2 < g \left( x \right) < 2$. Thế $g \left( x \right) = 2$ vào phương trình (2) ta được $m = 7$. Khi $m = 7$, phương trình (2) có hai nghiệm $\left[\right. g \left( x \right) = 2 \\ g \left( x \right) = 1$ thỏa yêu cầu.
TH2. $\left{\right. - 3 < g \left( x \right) < - 2 \\ - 2 < g \left( x \right) < 2$. $\Leftrightarrow \left{\right. - 3 < \dfrac{m + 2 - \sqrt{\left(\left( m - 4 \right)\right)^{2}}}{6} < - 2 \\ - 2 < \dfrac{m + 2 + \sqrt{\left(\left( m - 4 \right)\right)^{2}}}{6} < 2$
$\Leftrightarrow \left{ - 18 < m + 2 - \left|\right. m - 4 \left|\right. < - 12 \\ - 12 < m + 2 + \left|\right. m - 4 \left|\right. < 12$
Với $m \geq 4$, ta có: $\Leftrightarrow \left{\right. - 18 < 6 < - 12 \\ - 12 < 2 m - 2 < 12$ (vô lí).
Với $m < 4$, ta có: $\Leftrightarrow \left{\right. - 18 < 2 m - 2 < - 12 \\ - 12 < 6 < 12 \Leftrightarrow - 8 < m < - 5$, $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left{\right. - 7 , - 6 \right}$.
Vậy có tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu đề bài là $7 + \left( - 7 \right) + \left( - 6 \right) = - 6$.