Bài tập Tổ Hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết

Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là:

Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có nghiệm bằng

Một tổ có 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Giáo viên cần chọn ngẫu nhiên hai bạn hát song ca. Tính xác suất P để hai học sinh được chọn là một cặp song ca nam nữ. 

Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?

Hệ số của số hạng chứa  $x^5$ trong khai triển ${\left(1 + x\right)}^{12}$ là:

Thầy Tuấn có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Toán , 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phầnt hưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại thầy Tuấn còn đủ 3 môn

Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức  ${\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)}^{12}$ ta có hệ số của số hạng chứa  $x^m$ bằng 792. Giá trị của m là:

Cho hình chóp S.ABCD có  $SC = x\left(0<x<a\sqrt{3}\right)$, các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi  $x=\frac{a\sqrt{m}}{n}\left(m,n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho một tập hợp A gồm 9 phân tử. Có bao nhiêu cặp tập con khác rỗng không giao nhau của tập A?

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ${\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)}^{12}$.

Trong truyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt được tính từ 1 đến 100), khi không vác được cây tre dài tận 100 đốt như vậy về nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền hiện lên, bày cho anh ta : “Con hãy hô câu thần chú Xác suất, xác suất thì cây tre sẽ rời ra, con sẽ mang được về nhà”. Biết rằng cây tre 100 đốt được tách ra một cách ngẫu nhiên thành các đoạn ngắn có chiều dài là 2 đốt (có thể chỉ có một loại). Xác suất để có dố đoạn 3 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đoạn gần với giá trị nào trong các giá trị dưới đây ?

Hệ số của số hạng chứa  $x^7$trong khai triển nhị thức ${\left(x - \frac{2}{x\sqrt{x}}\right)}^{12}$(với $x>0$) là:

Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên:

Cho tập $X = \left.1;2;3;..........;8\right\}$. Lập từ x số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là:

Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có An và Bình, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để An và Bình đứng cạnh nhau là

Cho tập hợp $A = \left.0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}$. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu bằng

Bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 phong bì có địa chỉ khác nhau. Gọi A là biến cố “có ít nhất một lá thư đến đúng người nhận”, khi đó $P\left(A\right)$ bằng

Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?

Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?

Gọi là đa giác đều 4n đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm  $O\left(n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}\right)$ và X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập X. Biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông thuộc tập X là  $\frac{1}{13}$. Giá trị của n là

Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.

Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số

Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ A. Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải)?

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn của  $P \left(x\right) = {\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)}^{15}$