Đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = a^{x} \left( a > 0 , a \neq 1 \right)$ qua điểm $I \left( 1 ; 1 \right)$. Giá trị của biểu thức $f \left( 2 + \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023} \right)$ bằng

A.  

$2022$.

B.  

$2024$.

C.  

$- 2023$.

D.  

$- 2021$.

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = a^{x} \left( a > 0 , a \neq 1 \right)$ qua điểm $I \left( 1 ; 1 \right)$. Giá trị của biểu thức $f \left( 2 + \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023} \right)$ bằng
A. $2022$. B. $2024$. C. $- 2023$. D. $- 2021$.
Lời giải
Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y = a^{x}$; $\left( C_{1} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$.
$M \left( 2 + \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023} ; y_{M} \right) \in \left( C_{1} \right)$ $\Leftrightarrow y_{M} = f \left( 2 + \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023} \right)$.
Gọi $N$ đối xứng với $M$ qua $I \left( 1 ; 1 \right)$ $\Rightarrow N \left( - \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023} ; 2 - y_{M} \right)$.
Do đồ thị $\left( C_{1} \right)$ đối xứng $\left( C \right)$ qua $I \left( 1 ; 1 \right)$ nên $N \left( - \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023} ; 2 - y_{M} \right) \in \left( C \right)$.
$N \in \left( C \right)$ $\Leftrightarrow 2 - y_{M} = a^{- \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023}}$ $\Leftrightarrow 2 - y_{M} = a^{\left(log\right)_{a} 2023}$ $\Leftrightarrow 2 - y_{M} = 2023$ $\Leftrightarrow y_{M} = - 2021$.
Vậy $f \left( 2 + \left(log\right)_{a} \dfrac{1}{2023} \right) = - 2021$.