Cho hàm số bậc ba $y = f \left( x \right)$ có đồ thị là đường cong đậm trong hình vẽ và đồ thị hàm số $g \left( x \right) = f \left( a x^{2} + b x + c \right)$ với $a , b , c \in \mathbb{Q}$ có đồ thị là đường cong mảnh như hình vẽ. Đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g \left( x \right)$trên đoạn $\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.$.

Cho hàm số bậc ba $y = f \left( x \right)$ có đồ thị là đường cong đậm trong hình vẽ và đồ thị hàm số $g \left( x \right) = f \left( a x^{2} + b x + c \right)$ với $a , b , c \in \mathbb{Q}$ có đồ thị là đường cong mảnh như hình vẽ. Đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g \left( x \right)$trên đoạn $\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.$.

A. $\underset{\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.}{max} g \left( x \right) = 1692 .$B. $\underset{\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.}{max} g \left( x \right) = 198 .$
C. $\underset{\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.}{max} g \left( x \right) = 52 .$D. $\underset{\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.}{max} g \left( x \right) = 2 .$
Lời giải
Hàm số $f \left( x \right) = m x^{3} + n x^{2} + p x + q$
$f^{'} \left( x \right) = 3 m x^{2} + 2 n x + p$
Hàm số $f \left( x \right)$ có hai điểm cực trị $x = 0$; $x = 2$ nên $\left{ f^{'} \left(\right. 0 \right) = 0 \\ f^{'} \left( 2 \right) = 0$
Suy ra, $\left{\right. p = 0 \\ 12 m + 4 n = 0 \Leftrightarrow \left{\right. p = 0 \\ n = - 3 m$
Do đó, $f \left( x \right) = m x^{3} - 3 m x^{2} + q$
Từ đồ thị $f \left( x \right)$ ta có $\left{ f \left(\right. \text{1} \right) = 0 \\ f \left( \text{0} \right) = \text{2}$ $\Rightarrow \left{\right. - 2 m + q = 0 \\ q = 2$ $\Leftrightarrow$ $\left{\right. m = 1 \\ q = 2$
Vậy $f \left( x \right) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$.
Ta có $g \left( 0 \right) = 0$ $\Rightarrow$ $f \left( c \right) = c^{3} - 3 c^{2} + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[\right. c = 1 \\ c = 1 \pm \sqrt{3}$
Do $c \in \mathbb{Q}$ nên chọn $c = 1$.
Đồ thị hàm số $g \left( x \right)$ nhận đường thẳng $x = - \dfrac{1}{2}$ làm trục đối xứng nên $g \left( - 1 \right) = g \left( 0 \right) = 0$
Từ $g \left( - 1 \right) = 0$ $\Rightarrow f \left( a - b + 1 \right) = 0$ $\Rightarrow$ $\left(\left( a - b + 1 \right)\right)^{3} - 3 \left(\left( a - b + 1 \right)\right)^{2} + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ a - b + 1 = 1 \\ a - b + 1 = 1 \pm \sqrt{3}$.
Do $a , b \in \mathbb{Q}$ nên chọn $a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$
Suy ra $a x^{2} + b x + c = a x^{2} + a x + 1$.
Có $g \left(\right. - 2 \right) = 2 \Rightarrow f \left( 2 a + 1 \right) = 2$ $\Rightarrow \left(\left( 2 a + 1 \right)\right)^{3} - 3 \left(\left( 2 a + 1 \right)\right)^{2} + 2 = 2$ $\Leftrightarrow \left[\right. 2 a + 1 = 0 \\ 2 a + 1 = 3$
$\Rightarrow \left[\right. a = - \dfrac{1}{2} \\ a = 1$.
Từ đồ thị hàm số $f \left( x \right)$ và $g \left( x \right)$ suy ra: $\underset{x \rightarrow + \infty}{lim} f \left( x \right) = + \infty$ và $\underset{x \rightarrow + \infty}{lim} g \left( x \right) = + \infty$.
Vậy chọn $a = 1$.
Khi đó, $g \left( x \right) = f \left( a x^{2} + b x + c \right) = f \left( x^{2} + x + 1 \right)$.
Xét hàm số $g \left( x \right)$ trên đoạn $\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.$
Đặt $u = x^{2} + x + 1$.
$u^{'} \left( x \right) = 2 x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2} \in \left[ - 2 ; 2 \left]\right.$.
$u \left(\right. - \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{3}{4}$; $u \left( - \text{2} \right) = \text{3}$; $u \left( 2 \right) = 7$ $\Rightarrow$ $u \in \left[\right. \dfrac{3}{\text{4}} ; 7 \left]\right.$
Vậy $\underset{\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right.}{M a x} g \left( x \right) = \underset{\left[ \dfrac{3}{4} ; 7 \left]\right.}{M a x} f \left(\right. u \right) = f \left( 7 \right) = 198$.