Cho hàm số $y = f \left( x \right)$xác định R \left{ 0 \right} thoả mãn $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{x + 1}{x^{2}} , f \left( - 2 \right) = \dfrac{3}{2}$và $f \left( 2 \right) = 2ln2 - \dfrac{3}{2}$.Tính giá trị biểu thức $f \left( - 1 \right) + f \left( 4 \right)$ bằng.

A.  

$\dfrac{6ln2 - 3}{4}$.

B.  

$\dfrac{6ln2 + 3}{4}$.

C.  

$\dfrac{8ln2 + 3}{4}$.

D.  

$\dfrac{8ln2 - 3}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$xác định $R \left{ 0 \right}$ thoả mãn $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{x + 1}{x^{2}} , f \left( - 2 \right) = \dfrac{3}{2}$và $f \left( 2 \right) = 2ln2 - \dfrac{3}{2}$.Tính giá trị biểu thức $f \left( - 1 \right) + f \left( 4 \right)$ bằng.
A. $\dfrac{6ln2 - 3}{4}$. B. $\dfrac{6ln2 + 3}{4}$. C. $\dfrac{8ln2 + 3}{4}$. D. $\dfrac{8ln2 - 3}{4}$.
Lời giải
$f \left( x \right) = \int f^{'} \left( x \right) d x = \int \dfrac{x + 1}{x^{2}} d x = \int \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} \right) d x = ln \left|\right. x \left|\right. - \dfrac{1}{x} + C \\ \Rightarrow f \left( x \right) = \left{\right. \begin{matrix}ln \left( x \right) - \dfrac{1}{x} + C_{1} khi x > 0 \\ ln \left( - x \right) - \dfrac{1}{x} + C_{2} khi x < 0\end{matrix}$
Do $f \left( - 2 \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow ln \left(\right. - \left( - 2 \right) \left.\right) - \dfrac{1}{- 2} + C_{2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow ln2 + \dfrac{1}{2} + C_{2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow C_{2} = 1 - ln2$
Do $f \left( 2 \right) = 2ln2 - \dfrac{3}{2} \Rightarrow ln \left( 2 \right) - \dfrac{1}{2} + C_{1} = 2ln2 - \dfrac{3}{2} \Rightarrow ln2 - \dfrac{1}{2} + C_{1} = 2ln2 - \dfrac{3}{2} \Rightarrow C_{1} = ln2 - 1$
Như vậy $f \left( x \right) = \left{\right. ln \left( x \right) - \dfrac{1}{x} + ln2 - 1khi x > 0 \\ ln \left( - x \right) - \dfrac{1}{x} + 1 - ln2khi x < 0$
Vậy ta có
$f \left( - 1 \right) + f \left( 4 \right) = \left[\right. ln \left(\right. - \left( - 1 \right) \left.\right) - \dfrac{1}{- 1} + 1 - ln2 \left]\right. + \left[\right. ln \left( 4 \right) - \dfrac{1}{4} + ln2 - 1 \left] \\ = 0 + 1 + 1 - ln2 + 2ln2 - \dfrac{1}{4} + ln2 - 1 = 2ln2 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8ln2 + 3}{4}$