Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f \left( 0 \right) = 2 \sqrt{2}$, $f \left( x \right) > 0$ và $f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) = \left( 2 x + 1 \right) \sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)} \textrm{ } , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$. Giá trị $f \left( 2 \right)$ là

A.  

$5 \sqrt{4}$.

B.  

$4 \sqrt{5}$.

C.  

$3 \sqrt{5}$.

D.  

9.

Đáp án đúng là: B

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f \left( 0 \right) = 2 \sqrt{2}$, $f \left( x \right) > 0$ và $f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) = \left( 2 x + 1 \right) \sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)} \textrm{ } , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$. Giá trị $f \left( 2 \right)$ là
A. $5 \sqrt{4}$. B. $4 \sqrt{5}$. C. $3 \sqrt{5}$. D. 9.
Lời giải
Ta có $f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) = \left( 2 x + 1 \right) \sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)} \textrm{ } , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \dfrac{f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right)}{\sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)}} = 2 x + 1 \textrm{ } , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \dfrac{2 f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right)}{2 \sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)}} = 2 x + 1 \textrm{ } , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \int \dfrac{2 f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right)}{2 \sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)}} \text{d} x = \int \left( 2 x + 1 \right) \text{d} x$ $\Rightarrow \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)} = x^{2} + x + C$.
Cho $x = 0$ ta được: $C = \sqrt{1 + f^{2} \left( 0 \right)} = \sqrt{1 + \left(\left( 2 \sqrt{2} \right)\right)^{2}} = 3$.
Do đó $\sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)} = x^{2} + x + 3$.
Lại cho $x = 2$ ta được: $\sqrt{1 + f^{2} \left( 2 \right)} = 4 + 2 + 3 = 9$ $\Rightarrow \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } 1 + f^{2} \left( 2 \right) = 81$ $\Rightarrow \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } f^{2} \left( 2 \right) = 80$
$\Rightarrow \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } f \left( 2 \right) = 4 \sqrt{5}$ (do $f \left( x \right) > 0$).
Vậy $f \left( 2 \right) = 4 \sqrt{5}$.