Một con lắc đơn có chu kì dao động là $T=2\mathrm{s}$, vật nặng có khối lượng $3\mathrm{k}\mathrm{g}$. Kích thích cho con lắc dao động với biên độ góc $4^0$. Lấy $g={\pi }^2=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. Do có lực cản không đổi nên sau 16 phút 40 giây vật ngừng dao động. Để duy trì dao động dùng bộ phận bổ sung năng lượng. Bộ phận hoạt động nhờ một pin có $E=3\mathrm{V}$, hiệu suất $25\mathrm{\%}$. Pin trữ một năng lượng $Q={10}^3$C. Tính thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin?

A.  

101,5 ngày

B.  

58,6 ngày

C.  

117,3 ngày

D.  

90,5 ngày

Đáp án đúng là: B

$T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \Rightarrow 2 = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{\left(\pi\right)^{2}}} \Rightarrow l = 1 m$
Số dao động vật thực hiện được cho đến khi ngừng dao động là $N = \dfrac{t}{T} = \dfrac{16 . 60 + 40}{2} = 500$
Độ giảm biên độ góc sau mỗi chu kì là $\Delta \alpha = \dfrac{\left(\alpha\right)_{0}}{N} = \dfrac{4^{o}}{500} = 0 , \left(008\right)^{o}$
Lại có $\Delta \alpha = \dfrac{4 F_{C}}{P} \Rightarrow \dfrac{0 , 008 \pi}{180} = \dfrac{4 F_{C}}{3 . 10} \Rightarrow F_{C} = \dfrac{\pi}{3000} N$
Để dao động duy trì thì vật đều phải có biên độ góc ${\alpha }_0=4^o$ ở mỗi dao động
Quãng đường vật đi được ở mỗi dao động là $S = 4 l \left(\alpha\right)_{0} = 4 . 1 . \dfrac{4 \pi}{180} = \dfrac{4 \pi}{45} m$
Công của lực cản ở mỗi dao động là $A_{C} = F_{C} . S = \dfrac{\pi}{3000} . \dfrac{4 \pi}{45} \approx \dfrac{1}{3375} J$
Năng lượng pin cung cấp cho con lắc là $A_{p} = H Q E = 0 , 25 . \left(10\right)^{3} . 3 = 750 J$
Số dao động được duy trì sau mỗi lần thay pin là $N_{p} = \dfrac{A_{p}}{A_{C}} = \dfrac{750}{1 / 3375} = 2531250$
Thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin là:
$N_{p} T = 2531250 . 2 = 5062500 s \approx 58 , 6 n g \acute{a} y$.
Chú ý: Cách làm sau không đúng: $\dfrac{A_{p}}{W} . t = \dfrac{H Q E}{m g l \left(\right. 1 - cos \left(\alpha\right)_{0} \right)} . t = \dfrac{0 , 25 . \left(10\right)^{3} . 3}{3 . 10 . 1 . \left( 1 - \left(cos4\right)^{o} \right)} . \dfrac{16 + 40 / 60}{60 . 24} =$
Vì làm như thế này là cứ sau 16 phút 40 giây vật ngừng dao động rồi mới cung cấp năng lượng đúng bằng cơ năng con lắc lúc đầu thì khi dao động biên độ góc của con lắc sẽ giảm dần theo thời gian nên không phải dao động duy trì