Tính số nghiệm của bất phương trình sau \left(log\right)_{2} \left(\right. \sqrt{x - 2} + 4 \right) \leq \left(log\right)_{3} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} + 8 \right).

A.  

1.

B.  

2.

C.  

0.

D.  

vô số.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định $x \geq 2$.
Nhận xét: $\sqrt{x - 2} + 4 \geq 4$, $\forall x \geq 2$.
Xét vế trái của bất phương trình: $V T = \left(log\right)_{2} \left( \sqrt{x - 2} + 4 \right) \geq \left(log\right)_{2} 4 = 2$(1).
Mặt khác: $x - 1 \geq 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} \leq 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} + 8 \leq 9 , \forall x \geq 2$.
Xét vế phải của bất phương trình $V P = \left(log\right)_{3} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} + 8 \right) \leq \left(log\right)_{3} 9 = 2$(2).
Từ $\left( 1 \right) , \left( 2 \right)$ để $\left(log\right)_{2} \left( \sqrt{x - 2} + 4 \right) \leq \left(log\right)_{3} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} + 8 \right)$⇔ $\left{\right. \left(log\right)_{2} \left( \sqrt{x - 2} + 4 \right) = 2 \\ \left(log\right)_{3} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} + 8 \right) = 2 \Leftrightarrow x = 2$.
Vậy bất phương trình đã cho có đúng một nghiệm.