Cho hàm số $f \left( x \right) = a x^{4} + b x^{2} + 1 \textrm{ } , \textrm{ } \left( a \neq 0 \textrm{ } ; \textrm{ } a , b \in \mathbb{R} \right)$ mà đồ thị hàm số $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right)$ và đồ thị hàm số $f \left( x \right)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên $O y$ (hình vẽ), trong đó $\pm x_{1}$ là nghiệm của $f \left( x \right)$ và $\pm x_{2}$ là nghiệm của $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right)$ $\left( x_{1} > 0 \textrm{ } ; \textrm{ } x_{2} > 0 \right)$. Biết $x_{1} = 3 x_{2}$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $f \left( x \right)$; $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right)$ và trục $O x$.

A.  

$\dfrac{73}{45}$.

B.  

$\dfrac{73}{15}$.

C.  

$\dfrac{152}{45}$.

D.  

$\dfrac{152}{15}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f^{'} \left( x \right) = 4 a x^{4} + 2 b x$; $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right) = 12 a x^{2} + 2 b$
Do đồ thị hàm số $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right)$ và đồ thị hàm số $f \left( x \right)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên $O y$ nên $f \left( 0 \right) = \left(f^{'}\right)^{'} \left( 0 \right)$ $\Leftrightarrow$ $b = \dfrac{1}{2}$
Khi đó $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right) = 12 a x^{2} + 1$.
Mà $\pm x_{2}$ là nghiệm của $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right)$ nên $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x_{2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow$ $x_{2}^{2} = - \dfrac{1}{12 a}$ $\left( a < 0 \right)$
Lại có: $x_{1} = 3 x_{2}$ nên $x_{1}^{2} = - \dfrac{3}{4 a}$
Do $\pm x_{1}$ là nghiệm của $f \left( x \right)$ nên $f \left( x_{1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow$ $a x_{1}^{4} + \dfrac{1}{2} x_{1}^{2} + 1 = 0$ $\Leftrightarrow$ $a = - \dfrac{3}{16}$
$\Rightarrow$ $f \left( x \right) = - \dfrac{3}{16} x^{4} + \dfrac{1}{2} x^{2} + 1$; $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right) = - \dfrac{9}{4} x^{2} + 1$
Từ gt $\Rightarrow$ $x_{1} = 2$; $x_{2} = \dfrac{2}{3}$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bỏi các đồ thị hàm số $f \left( x \right)$; $\left(f^{'}\right)^{'} \left( x \right)$ và trục $O x$ là:
$S = 2 \int_{0}^{\dfrac{2}{3}} \left( - \dfrac{3}{16} x^{4} + \dfrac{11}{4} x^{2} \right) \text{d} x + 2 \int_{\dfrac{2}{3}}^{2} \left( - \dfrac{3}{16} x^{4} + \dfrac{1}{2} x^{2} + 1 \right) \text{d} x = \dfrac{152}{45}$.