Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} - 2ln x$ trên đoạn \left[ \dfrac{1}{\text{e}} ; \text{e} \left]\right. là

A.  

$T = \left(\text{e}\right)^{2} - 1$.

B.  

$T = \left(\text{e}\right)^{2} - \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}}$.

C.  

$T = 2 + \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}}$.

D.  

$T = 3 + \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}}$.

Đáp án đúng là: A

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} - 2ln x$ trên đoạn $\left[\right. \dfrac{1}{\text{e}} ; \text{e} \left]\right.$ là
A. $T = \left(\text{e}\right)^{2} - 1$. B. $T = \left(\text{e}\right)^{2} - \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}}$. C. $T = 2 + \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}}$. D. $T = 3 + \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}}$.
Lời giải
Hàm số xác định trên $\left[\right. \dfrac{1}{\text{e}} ; \text{e} \left]\right.$.
Ta có $y^{'} = 2 x - \dfrac{2}{x} \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = - 1 \notin \left[\right. \dfrac{1}{\text{e}} ; \text{e} \left]\right. \\ x = 1 \in \left[\right. \dfrac{1}{\text{e}} ; \text{e} \left]\right.$.
$y \left(\right. \dfrac{1}{\text{e}} \right) = \left(\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)\right)^{2} - 2ln \left( \dfrac{1}{\text{e}} \right) = \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}} + 2ln \left( \text{e} \right) = \dfrac{1}{\left(\text{e}\right)^{2}} + 2$.
$y \left( 1 \right) = 1^{2} - 2ln \left( 1 \right) = 1$.
$y \left( \text{e} \right) = \left(\text{e}\right)^{2} - 2ln \left( \text{e} \right) = \left(\text{e}\right)^{2} - 2$.
Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{\text{e}} ; \text{e} \left]\right.}{max} y = \left(\text{e}\right)^{2} - 2$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \text{e}$.
$\underset{\left[\right. \dfrac{1}{\text{e}} ; \text{e} \left]\right.}{min} y = 1$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 1$.
$\Rightarrow T = \left(\text{e}\right)^{2} - 2 + 1 = \left(\text{e}\right)^{2} - 1$.