Trong không gian $O x y z ,$ cho mặt phẳng $\left( P \right) : x - y + z + 7 = 0 ,$ đường thẳng $d : \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{- 2} = \dfrac{z}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + y^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 5 .$ Gọi $A , \textrm{ }\textrm{ } B$ là hai điểm trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $A B = 4 ;$ $A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B^{'}$ là hai điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $A A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B B^{'}$ cùng song song với đường thẳng $d .$ Giá trị lớn nhất của tổng độ dài $A A^{'} + \textrm{ } B B^{'}$ gần nhất với giá trị nào sau đây

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $\left( d \right) : \textrm{ } \dfrac{x}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $\left( P \right) : \textrm{ }\textrm{ } 2 x + y + z - 1 = 0$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $\left( P \right)$, cắt $\left( d \right)$ và tạo với $\left( d \right)$ một góc $30 \circ$ đi qua điểm nào sau đây:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\right. P \right)$ lần lượt có phương trình $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$, điểm $A \left( 2 ; - 1 ; 3 \right)$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N$ đi qua điểm $B \left( 2 ; m ; n \right)$. Tổng $m + 2 n$ bằng

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $A \left( 1 ; 2 ; - 1 \right)$, đường thẳng $\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 3}{3} = \dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right) : x + y - z + 3 = 0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, cắt $d$ và song song với $\left( P \right)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $\Delta : \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z}{- 2}$ và mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x - y + 2 z - 2022 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d : \textrm{ } \dfrac{x + 2}{2} = \dfrac{y + 1}{- 3} = \dfrac{z}{1}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 2 \right)^{2} + \left( y + 1 \right)^{2} + \left( z + 1 \right)^{2} = 6$. Hai mặt phẳng $\left( P \right) , \textrm{ }\textrm{ } \left( Q \right)$ chứa $d$ và cùng tiếp xúc với $\left( S \right)$ lần lượt tại $A , \textrm{ } B$. Gọi $I$ tà tâm mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị $cos \widehat{A I B}$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho điểm $M \left( 2 ; - 3 ; 1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right) : x + 3 y - z + 2 = 0$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình tham số là:

Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng $d \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ } \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z}{1}$; $d^{'} \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ } \left{ x = \textrm{ }\textrm{ } t \\ y = \textrm{ } 1 + 2 t \\ z = - 1 + \textrm{ }\textrm{ } t$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M \left(\right. 3 ; \textrm{ } 2 ; \textrm{ } 1 \right)$, vuông góc với $d$ và cắt $d^{'}$. Khi đó tọa độ giao điểm của $\Delta$ và mặt phẳng $O y z$ là

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $A \left(\right. 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \right)$ và đường thẳng $d : \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z + 2}{- 1}$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $d$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $A \left( - 2 ; \textrm{ } - 2 ; \textrm{ } - 7 \right)$, đường thẳng $d : \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{3} = \dfrac{z - 3}{4}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x + 3 \right)\right)^{2} + \left(\left( y + 4 \right)\right)^{2} + \left(\left( z + 5 \right)\right)^{2} = 729$. Biết điểm $B$ thuộc giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x + 3 y + 4 z - 107 = 0$. Khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A + M B$ bằng