Xét hàm số $f \left( t \right) = \dfrac{9^{t}}{9^{t} + m^{2}}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho \left{\right. f \left( x \right) + f \left( y \right) = 1 \\ e^{x + y} \leq e . \left( x + y \right) . Tìm tổng các phần tử của tập $S$.

A.  

$1 .$

B.  

$0 .$

C.  

$2 .$

D.  

$- 1 .$

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $f \left( t \right) = \dfrac{9^{t}}{9^{t} + m^{2}}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $\left{\right. f \left( x \right) + f \left( y \right) = 1 \\ e^{x + y} \leq e . \left( x + y \right) .$ Tìm tổng các phần tử của tập $S$.
A. $1 .$B. $0 .$C. $2 .$D. $- 1 .$
Lời giải
Ta có: $f \left( x \right) + f \left( y \right) = 1 \Leftrightarrow f \left( y \right) = 1 - f \left( x \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{9^{y}}{9^{y} + m^{2}} = 1 - \dfrac{9^{x}}{9^{x} + m^{2}} = \dfrac{m^{2}}{9^{x} + m^{2}}$
$\Leftrightarrow 9^{x + y} + m^{2} . 9^{y} = 9^{y} . m^{2} + m^{4}$
$\Leftrightarrow 9^{x + y} = m^{4}$ $\Leftrightarrow x + y = \left(log\right)_{9} m^{4} = \left(2log\right)_{3} \left|\right. m \left|\right.$.
Đặt $t = \left(log\right)_{3} \left|\right. m \left|\right.$.
Có: $e^{x + y} \leq e \left( x + y \right) \Leftrightarrow e^{2 t} \leq 2 e . t \Leftrightarrow e^{2 t} - 2 e . t \leq 0 \left( \star \right)$
Xét $g \left( t \right) = e^{2 t} - 2 e t$, có $g^{'} \left( t \right) = 2 e^{2 t} - 2 e = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}$.