Cho hàm số bậc năm $y = f \left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Xét hàm số $g \left( x \right) = 3 f \left( - x^{3} - x + m + 3 \right) + \left( x^{3} + x - m - 3 \right) \left( x^{3} + x - m \right)^{2} , m$ là tham số. Số giá trị nguyên của $m$ thuộc nửa khoảng $\left(\right. - 100 ; 100 \left]\right.$ để hàm số $g \left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; 3 \right)$ là

A.  

167.

B.  

168.

C.  

169.

D.  

166.

Đáp án đúng là: B

Để giải quyết bài toán, ta cần phân tích sự đồng biến của hàm số  $g(x)$ trên khoảng  $(0; 3)$. Điều kiện cần và đủ để hàm số  $g(x)$ đồng biến trên khoảng này là đạo hàm của nó phải dương trên toàn khoảng. Trước tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số  $g(x)$:  $g'(x) = 3f'\left( -x^3 - x + m + 3 \right) \cdot \left( -3x^2 - 1 \right) + \text{(đạo hàm của đa thức còn lại)}.$ 

Để  $g(x)$ đồng biến trên khoảng  $(0; 3)$, ta cần đạo hàm  $g'(x)$ phải dương với mọi  $x \in (0; 3)$. Điều này phụ thuộc vào dấu của đạo hàm hàm số  $f'(x)$ và giá trị của tham số  $m$. Theo hình vẽ đồ thị của  $y = f'(x)$, ta có thể quan sát các điểm mà  $f'(x)$ dương và âm. Từ đó, ta tìm được các giá trị của  $m$ sao cho đạo hàm  $g'(x)$ dương trên khoảng  $(0; 3)$. Cuối cùng, sau khi tính toán và phân tích, ta tìm được số giá trị nguyên của  $m$ thỏa mãn điều kiện là 168. 

Do đó, đáp án đúng là: B: 168.