Cho hàm số đa thức $y = f \left( x \right)$ có $f ' \left( x \right) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$, với $\forall x \in \mathbb{R}$. Biết hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) - \dfrac{2}{3} x^{3} - \dfrac{1}{2} x^{2} + x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$ và hàm số $h \left( x \right) = f \left( x \right) - \dfrac{1}{6} \left( 3 x^{4} + 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 1 \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = - 2$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $M \left( 0 ; 1 \right)$ ?

Cách 1: Ta có $g ' \left( x \right) - \dfrac{1}{6} h ' \left( x \right) = \left( 2 x + 3 \right) \left( x - 1 \right)^{2}$, do đó hai đồ thị hàm số $y = g ' \left( x \right)$ và $y = \dfrac{1}{6} h ' \left( x \right)$ tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ $x = 1$.
Mặt khác $g ' \left( x \right) \geq 0 , \textrm{ } \forall x \geq 0$ và $h ' \left( x \right) \leq 0 , \textrm{ } \forall x \geq 0$.
Suy ra hai đồ thị hàm số $y = g ' \left( x \right)$ và $y = \dfrac{1}{6} h ' \left( x \right)$ tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x = 1$.
Do đó ta có điều kiện : $\left{ g ' \left(\right. 1 \right) = 0 \\ g ' ' \left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left{ a + b = 0 \\ 2 a + b = 2 \Leftrightarrow \left{\right. a = 2 \\ b = - 2$.
Khi đó $k = f ' \left(\right. - 2 \right) = 5$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = 5 x + 1$.
Cách 2 : $g \left( x \right) = f \left( x \right) - \dfrac{2}{3} x^{3} - \dfrac{1}{2} x^{2} + x + 1 \Rightarrow g ' \left( x \right) = f ' \left( x \right) - 2 x^{2} - x + 1$
$g ' \left( x \right) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1 - 2 x^{2} - x + 1$. Theo giả thiết ta có :
$g ' \left( x \right) \geq 0$ với $\forall x \geq 0$ tương đương với : $a x^{2} + b x \geq - x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 \textrm{ } ; \textrm{ }\textrm{ } \forall x \geq 0$.
$h \left( x \right) = f \left( x \right) - \dfrac{1}{6} \left( 3 x^{4} + 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 1 \right) \Rightarrow h ' \left( x \right) = f ' \left( x \right) - \dfrac{1}{6} \left( 12 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x + 12 \right)$
$h ' \left( x \right) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2$. Theo giả thiết ta có :
$h ' \left( x \right) \leq 0$ với $\forall x \geq 0$ tương đương với : $a x^{2} + b x \leq x^{3} + x^{2} - 3 x + 1 \textrm{ } ; \textrm{ } \forall x \geq 0$
Ta có hệ điều kiện : $\left{\right. a x^{2} + b x \geq - x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 \textrm{ } \left( 1 \right) \textrm{ } \\ a x^{2} + b x \leq x^{3} + x^{2} - 3 x + 1 , \textrm{ }\textrm{ } \forall x \geq 0 \textrm{ }\textrm{ } \left( \star \right)$
Thay $x = 1$ vào hệ trên ta được : $\left{\right. a + b \geq 0 \\ a + b \leq 0 \Rightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = - a$.
Thay vào bất phương trình $\left( 1 \right)$ ta được : $a x^{2} - a x \geq - x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$
$\Leftrightarrow \left( x - 1 \right) \left( x^{2} + \left(\right. a - 1 \right) x - 2 \left.\right) \geq 0$. Để bất phương trình đúng với $\forall x \geq 0$ thì điều kiện cần là phương trình $x^{2} + \left( a - 1 \right) x - 2 = 0$ có nghiệm $x = 1$, hay $a = 2 \Rightarrow b = - 2$.
Thử lại với $a = 2 \Rightarrow b = - 2$ thì ta thấy hệ bất phương trình (*) có dạng :
$\left{\right. x^{3} - 3 x + 2 \geq 0 \\ x^{3} - x^{2} - x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \left{\right. \left( x - 1 \right)^{2} \left( x + 2 \right) \geq 0 \\ \left( x - 1 \right)^{2} \left( x + 1 \right) \geq 0$ luôn đúng với $\forall x \geq 0$.
Do đó : $f ' \left( x \right) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 1$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = - 2$ là $k = f ' \left( - 2 \right) = 5$.
Phương trình tiếp tuyến là $y = 5 x + m$, tiếp tuyến đi qua điểm $M \left( 0 ; 1 \right)$ nên $m = 1$.
Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = 5 x + 1$.