Cho hàm số bậc ba $y = f \left( x \right)$có bảng biến thiên như sau:

Tập hợp tất cả các số thực $m$ để phương trình $\left|\right. f \left( x \right) + 2 \left|\right. = m$ có $4$ nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dương là

A.  

$\left[\right. 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 4 \right)$.

B.  

$\left[ 4 \textrm{ } ; \textrm{ } 6 \right)$.

C.  

$\left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 6 \right)$.

D.  

$\left( 4 ​\textrm{ } ; \textrm{ } 6 \right)$.

Đáp án đúng là: B

Cho hàm số bậc ba $y = f \left( x \right)$có bảng biến thiên như sau:

Tập hợp tất cả các số thực $m$ để phương trình $\left|\right. f \left( x \right) + 2 \left| = m$ có $4$ nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dương là
A. $\left[\right. 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 4 \right)$. B. $\left[ 4 \textrm{ } ; \textrm{ } 6 \right)$. C. $\left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 6 \right)$. D. $\left( 4 ​\textrm{ } ; \textrm{ } 6 \right)$.
Lời giải
Gọi hàm số bậc ba $\textrm{ } f \left( x \right) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( a \neq 0 \right)$
$\textrm{ } \Rightarrow \textrm{ } f^{'} \left( x \right) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:
$\left{\right. f^{'} \left( - 1 \right) = 0 \\ f^{'} \left( 1 \right) = 0 \\ f \left( - 1 \right) = 4 \\ f \left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left{\right. 3 a - 2 b + c = 0 \\ 3 a + 2 b + c = 0 \\ - a + b - c + d = 4 \\ a + b + c + d = 0 \Leftrightarrow \left{\right. a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \\ d = 2$
$\Rightarrow \textrm{ }\textrm{ } f \left( x \right) = x^{3} - 3 x + 2 \Rightarrow y = f \left( x \right) + 2 = x^{3} - 3 x + 4$
Có bảng biến thiên của hàm số là

Từ đó ta có BBT

Từ BBT suy ra phương trinh $\left|\right. f \left( x \right) + 2 \left| = m$ có $4$ nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dương là $4 \leq m < 6$.