Cho hàm số $y = \dfrac{2 x}{x + 1}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A \left( 0 ; \textrm{ } a \right)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của $a$ để từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến $A M , \textrm{ } A N$ đến $\left( C \right)$ với $M , \textrm{ } N$ là các tiếp điểm và $M N = 4 .$ Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A \left( 0 ; a \right)$ và có hệ số góc $k$ là $y = k x + a$.
Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right)$ nên hệ phương trình $\left{\right. \dfrac{2 x}{x + 1} = k x + a        \left( 1 \right) \\ \dfrac{2}{\left( x + 1 \right)^{2}} = k              \left( 2 \right)$ có nghiệm.
$\left{\right. \dfrac{2 x}{x + 1} = k x + a        \\ \dfrac{2}{\left( x + 1 \right)^{2}} = k             \Leftrightarrow \left{\right. \dfrac{2 x}{x + 1} = \dfrac{2 x}{\left( x + 1 \right)^{2}} + a \\ \dfrac{2}{\left( x + 1 \right)^{2}} = k    \Leftrightarrow \left{\right. a \left( x + 1 \right)^{2} + 2 x = 2 x \left( x + 1 \right) \\ k = \dfrac{2}{\left( x + 1 \right)^{2}}$
Đặt $t = x + 1$ ta viết lại hệ phương trình trên như sau
$\left{ a t^{2} + 2 \left(\right. t - 1 \right) - 2 \left( t - 1 \right) t = 0 \\ k = \dfrac{2}{t^{2}} \Leftrightarrow \left{ \left(\right. a - 2 \right) t^{2} + 4 t - 2 = 0 \\ k = \dfrac{2}{t^{2}}$
Để có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì phương trình $\left( a - 2 \right) t^{2} + 4 t - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt có trị tuyệt đối khác nhau.
$\Leftrightarrow \left{\right. a \neq 2 \\ 4 + 2 \left( a - 2 \right) > 0 \Leftrightarrow \left{ a > 0 \\ a \neq 2$
Khi đó tọa độ $M \left(\right. x_{1} ; y_{1} \right)$, $N \left( x_{2} ,   y_{2} \right)$ trong đó
$x_{1} = t_{1} - 1$, $x_{2} = t_{2} - 1$, $y_{1} = 2 - \dfrac{2}{x_{1} + 1}$, $y_{2} = 2 - \dfrac{2}{x_{2} + 1}$.
$x_{1} - x_{2} = t_{1} - t_{2}$ và $\left( x_{1} + 1 \right) \left( x_{2} + 1 \right) = t_{1} t_{2}$ $t_{1} + t_{2} = - \dfrac{4}{a - 2}$ và $t_{1} t_{2} = - \dfrac{2}{a - 2}$.
Ta có
$M N = 4 \Leftrightarrow M N^{2} = 16 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} + \left( y_{1} - y_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} \left[\right. 1 + \dfrac{4}{\left( x_{1} + 1 \right)^{2} \left( x_{2} + 1 \right)^{2}} \left] = 16$
$\Leftrightarrow \left[\right. \left(\right. t_{1} + t_{2} \right)^{2} - 4 t_{1} t_{2} \left] \left[\right. 1 + \dfrac{4}{\left(\right. t_{1} t_{2} \right)^{2}} \left]\right. = 16 \Leftrightarrow \left[\right. \dfrac{16}{\left( a - 2 \right)^{2}} + \dfrac{8}{a - 2} \left]\right. \left[\right. 1 + \left( a - 2 \right)^{2} \left]\right. = 16$
$\Leftrightarrow a \left[\right. 1 + \left( a - 2 \right)^{2} \left]\right. = 2 \left( a - 2 \right)^{2} \Leftrightarrow \left( a - 2 \right)^{3} + \left( a - 2 \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow a - 2 = - 1 \Leftrightarrow a = 1$.
Vậy tổng các phần tử thỏa yêu cầu bài toán là $S = 1$.