Cho hàm số $f \left( x \right)$ có $f^{''} \left( 0 \right) = - \dfrac{81}{100}$ và đồ thị của hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ như hình bên dưới.

Hỏi hàm số $y = \left|\right. f \left( x \right) + \dfrac{81}{200} x^{2} - m \left|\right.$, ( $m$ là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trên nửa khoảng $\left(\right. - \dfrac{9}{5} ; 2 \left]\right.$?

A.  

4.

B.  

5.

C.  

6.

D.  

3.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) + \dfrac{81}{200} x^{2} - m$ $\Rightarrow g^{'} \left( x \right) = f^{'} \left( x \right) + \dfrac{81}{100} x$.
$g^{'} \left( x \right) = 0$ $\Leftrightarrow f^{'} \left( x \right) + \dfrac{81}{100} x = 0$ $\Leftrightarrow f^{'} \left( x \right) = - \dfrac{81}{100} x$ (1)
Do $f^{''} \left( 0 \right) = - \dfrac{81}{100} ,$ $f^{'} \left( 0 \right) = 0$ nên phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ tại gốc tọa độ là $y = f^{''} \left( 0 \right) \left( x - 0 \right) + f^{'} \left( 0 \right)$ $\Leftrightarrow y = - \dfrac{81}{100} x$.
Tiếp tuyến này qua các điểm $O \left( 0 ; 0 \right)$, $A \left( - \dfrac{9}{5} ; \dfrac{729}{500} \right)$, $B \left( \dfrac{3}{2} ; - \dfrac{243}{200} \right)$ và $O \left( 0 ; 0 \right)$ là tiếp điểm.
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ và tiếp tuyến $y = - \dfrac{81}{100} x$.

Dựa vào đồ thị ta thấy (1) có ba nghiệm $x = - \dfrac{9}{5} , \textrm{ } x = 0 , \textrm{ } x = \dfrac{3}{2}$, nên bảng biến thiên của hàm số $g \left( x \right)$ trên nửa khoảng $\left(\right. - \dfrac{9}{5} ; 2 \left]\right.$ là

$x$	$- \dfrac{9}{2}$		0		$\dfrac{3}{2}$		2
$g^{'} \left( x \right)$		−	0	−	0	$+$
$g \left( x \right)$

Trên nửa khoảng $\left(\right. - \dfrac{9}{5} ; 2 \left]\right. ,$ đồ thị hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) + \dfrac{81}{200} x^{2} - m$ có 1 cực trị và cắt trục hoành tối đa 2 điểm nên hàm số $y = \left|\right. g \left( x \right) \left|\right. = \left|\right. f \left( x \right) + \dfrac{81}{200} x^{2} - m \left|\right.$ có nhiều nhất là $2 + 1 = 3$ điểm cực trị trên nửa khoảng $\left(\right. - \dfrac{9}{5} ; 2 \left]\right. .$