Cho hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của $\left( C \right)$ và các tuyến tiếp của $\left( C \right)$ tại $A$, $B$ cắt các đường tiệm cận ngang và đứng của $\left( C \right)$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$. Diện tích tứ giác $M N P Q$ có giá trị nhỏ nhất bằng?

Cho hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của $\left( C \right)$ và các tuyến tiếp của $\left( C \right)$ tại $A$, $B$ cắt các đường tiệm cận ngang và đứng của $\left( C \right)$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$. Diện tích tứ giác $M N P Q$ có giá trị nhỏ nhất bằng?
A. $8$B. $16$C. $4$D. $32$
Lời giải
Ta có đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = 1$.
Gọi $A \left( a ; \dfrac{a + 1}{a - 1} \right)$, $B \left( b ; \dfrac{b + 1}{b - 1} \right)$ $\left( a < 1 < b \right)$ là hai điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$.
Ta có phương trình tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lần lượt là $d_{1} : y = \dfrac{- 2}{\left(\left( a - 1 \right)\right)^{2}} \left( x - a \right) + \dfrac{a + 1}{a - 1}$ và $d_{2} : y = \dfrac{- 2}{\left(\left( b - 1 \right)\right)^{2}} \left( x - b \right) + \dfrac{b + 1}{b - 1}$.
Thay $y = 1$ vào $d_{1}$ ta có $1 = \dfrac{- 2}{\left(\left( a - 1 \right)\right)^{2}} \left( x - a \right) + \dfrac{a + 1}{a - 1} \Leftrightarrow \dfrac{- 2}{a - 1} = \dfrac{- 2}{\left(\left( a - 1 \right)\right)^{2}} \left( x - a \right) \Leftrightarrow x = 2 a - 1$
Thay $x = 1$vào $d_{1}$ ta có $y = \dfrac{- 2}{\left(\left( a - 1 \right)\right)^{2}} \left( 1 - a \right) + \dfrac{a + 1}{a - 1} = \dfrac{2}{a - 1} + \dfrac{2}{a - 1} + 1 = \dfrac{4}{a - 1} + 1$
Giao điểm của $d_{1}$ với đường thẳng $y = 1$ là $M \left( 2 a - 1 ; 1 \right)$
Giao điểm của $d_{1}$ với đường thẳng $x = 1$ là $N \left( 1 ; \dfrac{4}{a - 1} + 1 \right)$
Giao điểm của $d_{2}$ với đường thẳng $y = 1$ là $P \left( 2 b - 1 ; 1 \right)$
Giao điểm của $d_{2}$ với đường thẳng $x = 1$ là $Q \left( 1 ; \dfrac{4}{b - 1} + 1 \right)$
Tứ giác $M N P Q$ có hai đường chéo $M P$ và $N Q$ vuông góc nên $S_{M N P Q} = \dfrac{1}{2} M P . N Q$.
Ta có $= \dfrac{1}{2} M P . N Q = \left( b - a \right) \left[\right. \dfrac{4}{b - 1} - \dfrac{4}{a - 1} \left]\right. = \left( b - a \right) \left[\right. \dfrac{4}{b - 1} + \dfrac{4}{1 - a} \left]\right. \geq \left( b - a \right) \dfrac{16}{b - a} = 16$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left{\right. b - 1 = 1 - a \\ \left( b - a \right) \left[ \dfrac{4}{b - 1} - \dfrac{4}{a - 1} \left]\right. = 16 \Rightarrow \left{\right. a = 0 \\ b = 2$.