Cho hàm số $y = f \left( x \right) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + k$ với $a , \textrm{ }\textrm{ } b , \textrm{ }\textrm{ } c , \textrm{ }\textrm{ } d , \textrm{ }\textrm{ } k \in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm $O \left( 0 ; 0 \right)$ và cắt trục hoành tại $A \left( 3 ; 0 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f \left( - x^{2} + 2 x + m \right) = k$ có hai nghiệm phân biệt?

A.  

5.

B.  

4.

C.  

3.

D.  

2.

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị ta thấy $f^{'} \left( x \right)$ không thể có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, do đó $a \neq 0$.
Ta suy ra $f^{'} \left( x \right) = 4 a x^{2} \left( x - 3 \right)$, $a \neq 0$.
Đồ thị của nó đi qua $\left( 2 ; 1 \right)$ nên $1 = 4 a . 2^{2} . \left( 2 - 3 \right) \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{16}$.
Suy ra $f^{'} \left( x \right) = - \dfrac{x^{2}}{4} \left( x - 3 \right)$, do đó $f \left( x \right) = - \dfrac{x^{4}}{16} + \dfrac{x^{3}}{4} + k$.
Ta có $f \left( x \right) = k \Leftrightarrow - \dfrac{x^{4}}{16} + \dfrac{x^{3}}{4} + k = k \Leftrightarrow \left[\right. x = 0 \\ x = 4$.
Suy ra $f \left( - x^{2} + 2 x + m \right) = k \Leftrightarrow \left[\right. - x^{2} + 2 x + m = 0 \\ - x^{2} + 2 x + m = 4 \Leftrightarrow \left[\right. m = x^{2} - 2 x \\ m = x^{2} - 2 x + 4$ (*)
Do vậy để phương trình $f \left( - x^{2} + 2 x + m \right) = k$ có 2 nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt

Vẽ đồ thị các hàm số $y = x^{2} - 2 x , \textrm{ } y = x^{2} - 2 x + 4$ trên cùng 1 hệ trục tọa độ, từ đó suy ra điều kiện để (*) có 2 nghiệm phân biệt là $- 1 < m < 3$. Do $m$ nguyên nên $m \in \left{ 0 ; 1 ; 2 \right}$. Vậy có 3 giá trị của $m$.