Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[\right. 0 ; 6 \left]\right.$ và có bảng biến thiên như hình sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $m f^{2} \left( x \right) + m + 15 \sqrt{\textit{x}} \leq 2024 f^{2} \left( x \right) - 5 \sqrt{40 - 6 \textit{x}} + 3 f \left( x \right) + 2023$ nghiệm đúng với mọi $\textit{x} \in \left[\right. 0 ; 6 \left]\right. .$

A.  

2000.

B.  

2001.

C.  

1999.

D.  

2023.

Đáp án đúng là: A

Cô lập $m$ và tìm GTNN bằng cách dùng hàm số
.
$m f^{2} \left( x \right) + m + 15 \sqrt{x} \leq 2024 f^{2} \left( x \right) - 5 \sqrt{40 - 6 x} + 3 f \left( x \right) + 2023$
$\Leftrightarrow m \left(\right. f^{2} \left( x \right) + 1 \left.\right) \leq 2024 \left(\right. f^{2} \left( x \right) + 1 \left.\right) - 5 \sqrt{40 - 6 x} + 3 f \left( x \right) - 1 - 15 \sqrt{x}$
$\Leftrightarrow \left( m - 2024 \right) \left(\right. f^{2} \left( x \right) + 1 \left.\right) \leq 3 f \left( x \right) - 5 \sqrt{40 - 6 x} - 1 - 15 \sqrt{x}$
$\Leftrightarrow m - 2024 \leq \dfrac{3 f \left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) + 1} - \dfrac{5 \sqrt{40 - 6 x} + 15 \sqrt{x} + 1}{f^{2} \left( x \right) + 1}$
$\Leftrightarrow m \leq \dfrac{3 f \left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) + 1} - \dfrac{5 \sqrt{40 - 6 x} + 15 \sqrt{x} + 1}{f^{2} \left( x \right) + 1} + 2024$
Xét hàm $g = \dfrac{3 f \left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) + 1}$ với $f \left( x \right) \in \left[\right. 1 , 5 \left]\right. \Rightarrow g_{\text{max}} = g \left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}$
Xét $h \left( x \right) = 5 \sqrt{40 - 6 x} + 15 \sqrt{x} + 1$
$\Rightarrow h^{'} \left( x \right) = \dfrac{- 30}{2 \sqrt{40 - 6 x}} + \dfrac{15}{2 \sqrt{x}}$
$\Rightarrow h^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{30}{2 \sqrt{40 - 6 x}} = \dfrac{15}{2 \sqrt{x}} \Leftrightarrow x = 4$

$\Rightarrow h_{\text{max}} = h \left( 4 \right) = 51$
Mà $f^{2} \left( x \right) + 1$ nhỏ nhất bằng 2
$\Rightarrow \dfrac{5 \sqrt{40 - 6 x} + 15 \sqrt{x} + 1}{f^{2} \left( x \right) + 1} \geq \dfrac{51}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{3 f \left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) + 1} - \dfrac{5 \sqrt{40 - 6 x} + 15 \sqrt{x} + 1}{f^{2} \left( x \right) + 1} + 2024 \leq \dfrac{3}{2} - \dfrac{51}{2} + 2024 = 2000$
$\Rightarrow m \leq 2000$
Mà m nguyên nên $m \in \left{ 1 , 2 , \ldots , 2000 \right}$
Vậy có tất cả 2000 số nguyên m thỏa mãn.
.