Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây.

Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x - m \right) - \dfrac{1}{2} \left( x - m + 1 \left(\right)\right)^{2} + 2024$ đồng biến trên $\left( 1 ; 2 \right)$.

A.  

10.

B.  

11.

C.  

12.

D.  

13.

Đáp án đúng là: C

Ta có $g^{'} \left( x \right) = f^{'} \left( x - m \right) - \left( x - m + 1 \right)$.
Vậy $g^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f^{'} \left( x - m \right) - \left( x - m + 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow f^{'} \left( x - m \right) = x - m + 1 \textrm{ }\textrm{ } \left( 1 \right)$.
Đặt $t = x - m$, khi đó phương trình (1) trở thành $f^{'} \left( t \right) = t + 1 \Leftrightarrow \left[\right. t = 2 \\ t = 0 \\ t = - 2 \Leftrightarrow \left[\right. x - m = 2 \\ x - m = 0 \\ x - m = - 2 \Leftrightarrow \left[\right. x = m + 2 \\ x = m \\ x = m - 2$.
Bảng biến thiên của hàm số $g \left( x \right)$ như sau:

Vậy hàm số $g \left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1 ; 2 \right)$ khi $\left[\right. \left{\right. \begin{matrix}m - 2 \leq 1 \\ m \geq 2\end{matrix} \\ m + 2 \leq 1 \Leftrightarrow \left[\right. 2 \leq m \leq 3 \\ m \leq - 1$.
Vì $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right. \Rightarrow \left[\right. - 10 \leq m \leq - 1 \\ 2 \leq m \leq 3$. Suy ra có 12 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn
Suy ra chọn C