Cho một hệ cơ học đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát như hình vẽ. Hai lò xo lý tưởng có độ cứng lần lượt là ${\mathrm{k}}_1=20N/m$, ${\mathrm{k}}_2=30N/m$; Các vật nhỏ có khối lượng ${\mathrm{m}}_1=200\mathrm{g},{\mathrm{m}}_2=300\mathrm{g}$; Dây nối 2 vật nhẹ, không giãn. Ban đầu hệ cân bằng, các vật nằm yên thì tổng độ giãn của 2 lò xo là 20 cm và khoảng cách giữa hai vật là $5\mathrm{c}\mathrm{m}$. Cắt dây nối hai vật để 2 vật dao động điều hòa. Kể từ lúc cắt dây đến khi tốc độ tương đối của hai vật bằng $100cm/s$ lần thứ nhất thì khoảng cách giữa chúng gần với giá trị nào sau đây nhất?

A.  

$.\mathbf{}15\mathrm{c}\mathrm{m}$.

B.  

$.\mathbf{}35\mathrm{c}\mathrm{m}$.

C.  

$.\mathbf{}\mathrm{5,89}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

D.  

$.\mathbf{}\mathrm{7,68}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Đáp án đúng là: D

$F_{d h 1} = F_{d h 2} \Rightarrow k_{1} \Delta l_{1} = k_{2} \Delta l_{2} \Rightarrow 20 \Delta l_{1} = 30 \Delta l_{2} \overset{\Delta l_{1} + \Delta l_{2} = 20}{\rightarrow} \left{ \Delta l_{1} = 12 c m = A_{1} \\ \Delta l_{2} = 8 c m = A_{2}$
$O_{1} O_{2} = \Delta l_{1} + l + \Delta l_{2} = 12 + 5 + 8 = 25 c m$
$\left(\omega\right)_{1} = \sqrt{\dfrac{k_{1}}{m_{1}}} = \sqrt{\dfrac{20}{0 , 2}} = 10 r a d / s$ và $\left(\omega\right)_{2} = \sqrt{\dfrac{k_{2}}{m_{2}}} = \sqrt{\dfrac{30}{0 , 3}} = 10 r a d / s$
$\left{\right. x_{1} = A_{1} cos \left(\right. \left(\omega\right)_{1} t + \left(\varphi\right)_{1} \right) = 12cos \left( 10 t \right) \\ x_{2} = A_{2} cos \left( \left(\omega\right)_{2} t + \left(\varphi\right)_{2} \right) = 8cos \left( 10 t - \pi \right) \Rightarrow \left{ v_{1} = 120cos \left(\right. 10 t + \pi / 2 \right) \\ v_{2} = 80cos \left( 10 t - \pi / 2 \right)$
$\Delta v = v_{2} - v_{1} = 80 \angle \dfrac{- \pi}{2} - 120 \angle \dfrac{\pi}{2} = 200 \angle - \dfrac{\pi}{2}$
$\left| \Delta v \left|\right. = 100 = \dfrac{v_{max}}{2} \rightarrow t = \dfrac{\alpha}{\omega} = \dfrac{\pi / 6}{10} = \dfrac{\pi}{60} s$
$d = O_{1} O_{2} + x_{2} - x_{1} = 25 + 8cos \left(\right. 10 . \dfrac{\pi}{60} - \pi \right) - 12cos \left( 10 . \dfrac{\pi}{60} \right) \approx 7 , 68 c m$.