Cho hệ phương trình \left{ 2^{x^{2}} - 4^{y + 1} = 2 y + 2 - x^{2} \\ 4 x^{3} + 2 \left(\right. 2 y + 2 \right) = \sqrt{\left( x^{4} + 1 \right) \left[ x^{4} + 16 \left(\right. 2 y + 2 \right) + 8 x + 1 \left]\right.}. Biết hệ có một nghiệm $\left( x_{0} ; y_{0} \right) , x_{0} > 0$, với $x_{0} = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{- b + c \sqrt{2}}}{2}$ trong đó $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của $N = b + c - a$ bằng.

A.  

8.

B.  

6.

C.  

4.

D.  

2.

Đáp án đúng là: C

Chọn C
Ta có $2^{x^{2}} - 4^{y + 1} = 2 y + 2 - x^{2} \Leftrightarrow 2^{x^{2}} + x^{2} = 2^{2 y + 2} + 2 y + 2$.
Xét hàm số $f \left( x \right) = 2^{x} + x$ có $f^{'} \left( x \right) = 2^{x} ln2 + 1 > 0 , \forall x$ nên $f \left( x^{2} \right) = f \left( 2 y + 2 \right) \Leftrightarrow x^{2} = 2 y + 2$.
Khi đó
$\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } 4 x^{3} + 2 \left( 2 y + 2 \right) = \sqrt{\left( x^{4} + 1 \right) \left[ x^{4} + 16 \left(\right. 2 y + 2 \right) + 8 x + 1 \left]} \\ \Leftrightarrow 4 x^{4} \left(\right. 2 x + 1 \right)^{2} = \left( x^{4} + 1 \right) \left[\right. \left( x^{4} + 1 \right) + 8 x \left( 2 x + 1 \right) \left]\right. . \left( \star \right)$
Đặt $\left{\right. u = x^{4} + 1 \\ v = 2 x + 1$. Từ đó ta có
$\left( \star \right) \Leftrightarrow 4 \left( u - 1 \right) v^{2} = u \left[ u + 4 \left(\right. v - 1 \right) v \left] \Leftrightarrow 4 u v^{2} - 4 v^{2} = u^{2} + 4 u v^{2} - 4 u v \\ \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \Leftrightarrow u^{2} - 4 u v + 4 v^{2} = 0 \Leftrightarrow \left(\right. u - 2 v \right)^{2} = 0 \Leftrightarrow u = 2 v .$
Suy ra $x^{4} + 1 = 2 \left( 2 x + 1 \right) \Leftrightarrow \left( x^{2} + 1 \right)^{2} = 2 \left( x + 1 \right)^{2} \Leftrightarrow \left[\right. x^{2} + 1 = \sqrt{2} \left( x + 1 \right) \left( a \right) \\ x^{2} + 1 = - \sqrt{2} \left( x + 1 \right) \left( b \right)$
Vì $x > 0$ nên phương trình $\left( b \right)$ vô nghiệm.
Phương trình $\left( a \right) \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x + 1 - \sqrt{2} = 0$. Có $\Delta = 4 \sqrt{2} - 2$ suy ra nghiệm
$x = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{4 \sqrt{2} - 2}}{2} \textrm{ } \left( > 0 \right) ; x = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{4 \sqrt{2} - 2}}{2} \textrm{ } \left( < 0 \right)$.
Do đó $a = 2 ; b = 2 ; c = 4$.
Vậy $N = b + c - a = 4$.