Cho $a , b$ là hai số thực dương thỏa mãn $2^{a + b + 2 a b - 3} = \dfrac{1 - a b}{a + b}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$ là

A.  

$3 - \sqrt{5}$.

B.  

$6 - 2 \sqrt{5}$

C.  

$\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

D.  

2.

Đáp án đúng là: A

Cho $a , b$ là hai số thực dương thỏa mãn $2^{a + b + 2 a b - 3} = \dfrac{1 - a b}{a + b}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$ là
A. $3 - \sqrt{5}$. B. $6 - 2 \sqrt{5}$C. $\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$. D. $2 .$
Lời giải
Do $\left{ 2^{a + b + 2 a b - 3} > 0 \\ a > 0 , b > 0 \Rightarrow \left{\right. 1 - a b > 0 \\ a b > 0 \\ a > 0 , b > 0 \Rightarrow \left{\right. 0 < a b < 1 \\ a > 0 , b > 0 .$
$2^{a + b + 2 a b - 3} = \dfrac{1 - a b}{a + b} \Leftrightarrow a + b + 2 a b - 3 = \left(log\right)_{2} \dfrac{1 - a b}{a + b} \Leftrightarrow a + b + 2 a b - 3 = \left(log\right)_{2} \left(\right. 1 - a b \right) - \left(log\right)_{2} \left( a + b \right)$
$\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left( a + b \right) + a + b = \left(log\right)_{2} \left( 2 - 2 a b \right) + 2 - 2 a b .$
Đặt $f \left( t \right) = \left(log\right)_{2} t + t , \left( t > 0 \right) \Rightarrow f^{'} \left( t \right) = \dfrac{1}{t ln2} + 1 > 0 , \forall t > 0 .$
Ta có $\left{\right. f^{'} \left( t \right) > 0 , \forall t > 0 \\ f \left( a + b \right) = f \left( 2 - 2 a b \right) \Rightarrow a + b = 2 - 2 a b .$
$2 - 2 a b = a + b \geq 2 \sqrt{a b} \Leftrightarrow 2 a b + 2 \sqrt{a b} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow 0 < \sqrt{a b} \leq \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \Leftrightarrow 0 < a b \leq \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$T = a^{2} + b^{2} = \left( a + b \right)^{2} - 2 a b = 4 \left( a b \right)^{2} - 10 a b + 4 .$
Đặt $t = a b , \left( 0 < t \leq \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \Rightarrow T = h \left( t \right) = 4 t^{2} - 10 t + 4 \Rightarrow h ' \left( t \right) = 8 t - 10 < 0 , \forall t \in \left( 0 ; \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) .$
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$ là $T = h \left( \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) = 3 - \sqrt{5}$.