Cho phương trình  $4\log_2^2{x} + \log_2{x} - 5 = 0$ có  $\sqrt{7^x - m} = 0$ (với  $m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của  $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A.  

$47$

B.  

$49$

C.  

Vô số

D.  

$48$

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình  $\left( 4\log_{2}^{2} x + \log_{2} x - 5 \right) \sqrt{7^{x} - m} = 0$ 
Điều kiện:  $\left\{ x > 0 \\ m \leq 7^{x} \Leftrightarrow x \geq \log_{7} m \\ x > 0 \right\}$. 
Phương trình tương đương  $\left\{ 4\log_{2}^{2} x + \log_{2} x - 5 = 0 \\ 7^{x} - m = 0 \Leftrightarrow \begin{matrix}x = 2 \\ x = 2^{\frac{- 5}{4}}\end{matrix} \\ x = \log_{7} m \right\}$. 
Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt: 
TH1:  $\log_{7} m \leq 0 \Leftrightarrow 0 < m \leq 1 \Rightarrow m = 1$. 
TH2:  $2^{\frac{- 5}{4}} \leq \log_{7} m < 2 \Leftrightarrow 7^{2^{\frac{- 5}{4}}} \leq m < 49 \Rightarrow m \in \{ 3, 4, \dots, 48 \}$. 
Vậy có tất cả  $47$ giá trị  $m$ thỏa mãn.