Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \left(log\right)_{3} \left(\right. x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) > \left(2log\right)_{2} x

A.  

$6$

B.  

$7$

C.  

$8$

D.  

$5$

Đáp án đúng là: B

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $\left(log\right)_{3} \left( x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) > \left(2log\right)_{2} x$
A. $6$B. $7$C. $8$D. $5$
Lời giải
Điều kiện: $\left{\right. x^{3} + 3 x^{2} + 25 > 0 \\ x > 0 \Leftrightarrow x > 0$
$\left(log\right)_{3} \left( x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) > \left(2log\right)_{2} x \Leftrightarrow \left(log\right)_{3} \left( x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) - \left(2log\right)_{2} x > 0$.
Xét $f \left( x \right) = \left(log\right)_{3} \left( x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) - \left(2log\right)_{2} x$ với $x > 0$
$f^{'} \left( x \right) = \dfrac{3 x^{2} + 6 x}{\left( x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) ln3} - \dfrac{2}{x ln2} = \dfrac{3 x^{3} ln2 + 6 x^{2} ln2 - 2 x^{3} ln3 - 6 x^{2} ln3 - 50ln3}{\left( x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) ln3 \cdot x ln2}$
$= \dfrac{\left( 3ln2 - 2ln3 \right) x^{3} + 6 \left( ln2 - ln3 \right) x^{2} - 50ln3}{\left( x^{3} + 3 x^{2} + 25 \right) ln3 \cdot x ln2} < 0 , \forall x > 0$.
Suy ra $f^{'} \left( x \right) < 0 , \forall x > 0 .$
Ta có:

Từ bảng biến thiên $f \left( x \right) > 0$ khi $0 < x < 8$, vậy bất phương trình có 7 số nguyên.