Tất cả các cặp số \left(\right. x ; y \right), sao cho $x , y \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$ sao cho $\left( 3 y - 2 y^{2} + 2 \right) \left(log\right)_{3} \left( 1 + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \right) > \left( y + 1 \right) \left(log\right)_{2} \sqrt{x}$ luôn đúng là

A.  

$3684$

B.  

$4095 .$

C.  

$5406 .$

D.  

$4012$

Đáp án đúng là: B

Tất cả các cặp số $\left( x ; y \right)$, sao cho $x , y \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$ sao cho $\left( 3 y - 2 y^{2} + 2 \right) \left(log\right)_{3} \left( 1 + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \right) > \left( y + 1 \right) \left(log\right)_{2} \sqrt{x}$ luôn đúng là
A. $3684$B. $4095 .$C. $5406 .$D. $4012$
Lời giải
Do $\left{\right. \left( y + 1 \right) \left(log\right)_{2} \sqrt{x} \geq 0 \\ \left(log\right)_{3} \left( 1 + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \right) > 0 , \forall x , y \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$
Nên để bất phương trình có nghiệm khi $3 y - 2 y^{2} + 2 > 0$ $\Rightarrow y = 1$.
Với $y = 1$, bất phương trình tương đương $\left(3log\right)_{3} \left( 1 + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \right) - \left(log\right)_{2} x > 0$.
Đặt $t = \left(log\right)_{2} x^{} \left( t \geq 0 \right) \Leftrightarrow x = 2^{t}$, bất phương trình tương đương:
$1 + 2^{\dfrac{t}{2}} + 2^{\dfrac{t}{3}} > 3^{\dfrac{t}{3}} \Leftrightarrow \left(\left( \dfrac{1}{3} \right)\right)^{\dfrac{t}{3}} + \left(\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}} \right)\right)^{t} + \left(\left( \dfrac{2}{3} \right)\right)^{\dfrac{t}{3}} - 1 > 0$
Đặt $f \left( t \right) = \left(\left( \dfrac{1}{3} \right)\right)^{\dfrac{t}{3}} + \left(\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}} \right)\right)^{t} + \left(\left( \dfrac{2}{3} \right)\right)^{\dfrac{t}{3}} - 1$. Do $f \left( t \right)$ là hàm nghịch biến và $f \left( 12 \right) = 0$
Nên $\left(\left( \dfrac{1}{3} \right)\right)^{\dfrac{t}{3}} + \left(\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}} \right)\right)^{t} + \left(\left( \dfrac{2}{3} \right)\right)^{\dfrac{t}{3}} - 1 > 0 \Leftrightarrow 0 \leq t < 12 \Leftrightarrow 1 \leq x < 4096$.
Vậy có $4095$ cặp $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.