Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = = x^{3} - \left( 2 + m \right) x^{2} - \left( 2 m^{2} - 3 m - 1 \right) x + 2 m^{2} - 2 m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:

A.  

$\dfrac{7}{5}$.

B.  

$\frac{13}{20}$.

C.  

$\frac{33}{20}$.

D.  

$\frac{5}{4}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = = x^{3} - \left( 2 + m \right) x^{2} - \left( 2 m^{2} - 3 m - 1 \right) x + 2 m^{2} - 2 m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:
A. $\dfrac{7}{5}$. B. $\frac{13}{20}$. C. $\frac{33}{20}$. D. $\frac{5}{4}$.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^{3} - \left( 2 + m \right) x^{2} - \left( 2 m^{2} - 3 m - 1 \right) x + 2 m^{2} - 2 m = 0$
⬄ $\left( x - 1 \right) \left[ x^{2} - \left(\right. m + 1 \right) x - \left( 2 m^{2} - 2 m \right) \left] = 0$
⬄ $\left[\begin{array}{c}x=1\\ x^2-\left(m+1\right)x-\left(2m^2-2m\right)=0\left(*\right)\end{array}\right.$
⬄ Để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì (*) có 2 nghiệm dương phân biệt và khác 1.
⬄ $\left\{\begin{array}{c}{∆}^{\text{'}}>0\\ P=-2m^2+2m>0\\ S=m+1>0\\ 1^2-\left(m+1\right).1-2m^2+2m\ne 0\end{array}\right.$⬄ $\begin{array}{c}{\left(m+1\right)}^2-4\left(-2m^2+2m\right)>0\\ 0<m<1\\ m>-1\\ -2m^2+m\ne 0\end{array}$
⬄ $\left\{\begin{array}{c}9m^2-6m+1>0\\ 0<m<1\\ m\ne 0\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}\right.$⬄ $\left\{\begin{array}{c}m\ne \frac{1}{3}\\ 0<m<1\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}\right.$ => $m\in (0;1)\backslash \left\{\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right\}$
Khi đó (*) có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ và x₁ + x₂ = m + 1.
Để 3 giao điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng thì $\left[\begin{array}{c}{x}_1+1=2x_2\\ m+1=2.1\end{array}\right.$⬄ $\left[\begin{array}{c}m=1\left(L\right)\\ x_1=2x_2-1\end{array}\right.$
Vi-ét: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m+1\\ x_1{x}_2=-2m^2+2m\\ x_1=2x_2-1\end{array}\right.$=> $\left\{\begin{array}{c}3x_2-1=m+1\\ \left(2x_2-1\right).x_2=-2m^2+2m\end{array}\right.$
⬄ $\left\{\begin{array}{c}{x}_2=\frac{m+2}{3}\\ \left(\frac{2\left(m+2\right)}{3}-1\right).\frac{m+2}{3}=-2m^2+2m\end{array}\right.$
⬄ $2m^2+5m+2=-18m^2+18m$
⬄ $2{0m}^2-13m+2=0$⬄ m = 2/5 (TM) hoặc m = ¼ (TM)
Vậy tổng các giá trị cỉa S là 13/20