Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = m x^{4} + \left( m - 1 \right) x^{2} + 2022$ có đúng một điểm cực đại.

A.  

$\left{\right. m < 1 \\ m \neq 0$.

B.  

$m < 1$.

C.  

$m \leq 0$.

D.  

$0 \leq m \leq 1$.

Đáp án đúng là: B

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = m x^{4} + \left( m - 1 \right) x^{2} + 2022$ có đúng một điểm cực đại.
A. $\left{\right. m < 1 \\ m \neq 0$. B. $m < 1$. C. $m \leq 0$. D. $0 \leq m \leq 1$.
Lời giải
TH1: $m = 0$. Khi đó hám số suy biến thành hàm bậc hai có dạng $y = - x^{2} + 2022$ là một parabol có bề lõm quay xuống nên đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị và là điểm cực đại. Suy ra $m = 0$ (thỏa mãn)
TH2: $m \neq 0$. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương.
Ta có nhận xét sau về hàm bậc bốn trùng phương: $y = a x^{4} + b x^{2} + c \textrm{ }\textrm{ } \left( a \neq 0 \right)$.
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $a b < 0$.
Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi $a . b \leq 0$.
Do đó ta có hai khả năng cho TH2:
➊ KN1: Đồ thị hàm số có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại thì
$\left{\right. a < 0 \\ a . b \geq 0 \Leftrightarrow \left{\right. a < 0 \\ b \leq 0 \Leftrightarrow \left{\right. m < 0 \\ m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \left{\right. m < 0 \\ m \leq 1 \Leftrightarrow m < 0$.
➋ KN2: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại thì
$\left{\right. a > 0 \\ a . b < 0 \Leftrightarrow \left{\right. a > 0 \\ b < 0 \Leftrightarrow \left{\right. m > 0 \\ m - 1 < 0 \Leftrightarrow \left{\right. m > 0 \\ m < 1 \Leftrightarrow 0 < m < 1$.
Vậy kết hợp các trường hợp trên ta được $m < 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.