Trong không gian $O x y z$, tính diện tích $S$ của tam giác $A B C$, biết $A \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \right)$, $B \left( 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \right)$, $C \left( 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 4 \right)$

A.  

$S = \sqrt{61}$.

B.  

$S = 2 \sqrt{61}$.

C.  

$S = \dfrac{\sqrt{61}}{2}$.

D.  

$S = \dfrac{\sqrt{61}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Trong không gian $O x y z$, tính diện tích $S$ của tam giác $A B C$, biết $A \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \right)$, $B \left( 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \right)$, $C \left( 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 4 \right)$
A. $S = \sqrt{61}$. B. $S = 2 \sqrt{61}$. C. $S = \dfrac{\sqrt{61}}{2}$. D. $S = \dfrac{\sqrt{61}}{3}$.
Lời giải
Ta có: $\overset{\rightarrow}{A B} = \left( - 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \right)$; $\overset{\rightarrow}{A C} = \left( - 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 4 \right)$; $\left[ \overset{\rightarrow}{A B} \textrm{ } , \textrm{ } \overset{\rightarrow}{A C} \left]\right. = \left(\right. 12 \textrm{ } ; \textrm{ } 8 \textrm{ } ; 6 \right)$.
$S_{\Delta A B C} = \dfrac{1}{2} \left| \left[\right. \overset{\rightarrow}{A B} \textrm{ } , \textrm{ } \overset{\rightarrow}{A C} \left]\right. \left|\right. = \dfrac{1}{2} \sqrt{\left(12\right)^{2} + 8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{61}$.
Vậy diện tích $S$ của tam giác $A B C$ bằng $\sqrt{61}$.