Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \textrm{ } x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ và điểm $M \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0 \right)$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $A , B$phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $O A B$.

A.  

$2 \sqrt{2}$.

B.  

$2 \sqrt{7}$.

C.  

$4$.

D.  

$\sqrt{7}$.

Đáp án đúng là: D

Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \textrm{ } x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ và điểm $M \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0 \right)$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $A , B$phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $O A B$.
A. $2 \sqrt{2}$. B. $2 \sqrt{7}$. C. $4$. D. $\sqrt{7}$.
Lời giải
Ta có: mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O \left( 0 ; 0 ; 0 \right)$ và $R = 2 \sqrt{2}$.
$O M = 1 < R \Rightarrow$ điểm $M$nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Gọi $h = d \left( O , d \right) \leq O M = 1$, khi đó ta có: $S_{\Delta O A B} = \dfrac{1}{2} h . A B = \dfrac{1}{2} h . 2 \sqrt{O A^{2} - h^{2}} = \sqrt{8 h - h^{3}}$.
Xét hàm $f \left( x \right) = \sqrt{8 x - x^{3}} \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \forall x \in \left[\right. 0 ; 1 \left]\right.$.
$S_{\Delta O A B}$ đạt giá trị lớn nhất là $\underset{\left[\right. 0 ; 1 \left]\right.}{M a x} f \left( x \right) = \sqrt{7} \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow O M \bot d$.