Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, $C \left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh $A B , A C , A D$ lần lượt tại các điểm $B^{'} , C^{'} , D^{'}$ thỏa mãn $\dfrac{A B}{A B^{'}} + \dfrac{A C}{A C^{'}} + \dfrac{A D}{A D^{'}} = 4$. Biết tứ diện $A B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục hoành tại điểm $M \left( \dfrac{a}{b} ; 0 ; 0 \right) \left( a , b \in \mathbb{Z} ; b \neq 0 \right)$, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a b$.

A.  

−1560.

B.  

624.

C.  

−624.

D.  

1560.

Đáp án đúng là: C

Ta có  $\dfrac{V_{ABCD}}{V_{AB'C'D'}} = \dfrac{AB}{AB'} \cdot \dfrac{AC}{AC'} \cdot \dfrac{AD}{AD'} \leq \left( \dfrac{\dfrac{AB}{AB'} + \dfrac{AC}{AC'} + \dfrac{AD}{AD'}}{3} \right)^{3} = \dfrac{64}{27}$. 
Suy ra  $V_{AB'C'D'} \geq \dfrac{27}{64} V_{ABCD}$. 
Dấu “=” xảy ra khi  $\dfrac{AB}{AB'} = \dfrac{AC}{AC'} = \dfrac{AD}{AD'} = \dfrac{4}{3}$ hay  $\left( B'C'D' \right) \parallel \left( BCD \right)$ và  $\overrightarrow{AB'} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}$. 
Do đó mặt phẳng  $(\alpha)$ đi qua  $B'$ và song song với mặt phẳng  $(BCD)$.
Ta có  $\left\{ \overrightarrow{BC} = \left( -3, -1, -2 \right) \\ \overrightarrow{BD} = \left( -2, 3, 2 \right) \right. \Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD} \right] = \left( 4, 10, -11 \right)$. 
Từ  $\overrightarrow{AB'} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB} = \left( \dfrac{3}{4}, -\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{4} \right) \Rightarrow B' \left( \dfrac{7}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4} \right)$. 
Vậy phương trình mặt phẳng  $(\alpha)$ là 
$4 \left( x - \dfrac{7}{4} \right) + 10 \left( y - \dfrac{1}{4} \right) - 11 \left( z - \dfrac{7}{4} \right) = 0 \Leftrightarrow 16x + 40y - 44z + 39 = 0$. 
Mặt phẳng  $(\alpha)$ cắt trục hoành tại điểm  $M \left( -\dfrac{39}{16}, 0, 0 \right)$  $\Rightarrow \left\{ a = -39 \\ b = 16 \right. \Rightarrow ab = -624$.