Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 12. Thể tích $V$của khối chóp lớn nhất bằng

A.  

$V = \dfrac{4096}{3}$.

B.  

$V = \dfrac{4096 \sqrt{2}}{3}$

C.  

$V = 4096 \sqrt{2}$

D.  

$V = \dfrac{4096 \sqrt{3}}{3}$

Đáp án đúng là: A

nội tiếp mặt cầu có tâm $I$ và bán kính $R = 12$.
Gọi $H = A C \cap B D$, $K$ là trung điểm $S C$.
Đặt $A B = x ; \textrm{ } S H = h \textrm{ } ; \textrm{ } l = S A = S B = S C = S D$, $\left( x , \textrm{ }\textrm{ } h , \textrm{ }\textrm{ } l > 0 \right)$.
Ta có: $A C = x \sqrt{2}$, $H C = \dfrac{x \sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow l = S C = \sqrt{h^{2} + \dfrac{x^{2}}{2}}$ (1).
Do $\Delta S K I ∽ \Delta S H C \Rightarrow \dfrac{S K}{S H} = \dfrac{S I}{S C} \left( g . g \right)$
Mà $S K = \dfrac{S C}{2} = \dfrac{l}{2} , \textrm{ }\textrm{ } S I = R$ $\Rightarrow l^{2} = 2 h . R$ (2)
Thay (2) vào (1) ta được: $x^{2} = 48 h - 2 h^{2}$
Diện tích đáy của hình chóp $S_{A B C D} = x^{2}$
Thể tích của khối chóp là $V = \dfrac{1}{3} h . x^{2} = \dfrac{1}{3} h \left( 48 h - 2 h^{2} \right)$
$= \dfrac{1}{3} . h . h \left( 48 - 2 h \right)$ $\leq \dfrac{1}{3} . \left( \dfrac{h + h + 48 - 2 h}{3} \right)^{3} = \dfrac{4096}{3}$
Khi đó $V \leq \dfrac{4096}{3}$, dấu bằng xảy ra khi $h = h = 48 - 2 h \Leftrightarrow h = 16 , x = 16$.
Vậy $V_{m a x} = \dfrac{4096}{3}$.