Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #7549

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng aa. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với SOS O và cắt SOS O, SAS A, SBS B, SCS C, SDS D lần lượt tại II, MM, NN, PP, QQ. Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQM N P Q và một đáy nằm trên mặt phẳng (ABCD)\left( A B C D \right). Thể tích khối trụ lớn nhất bằng

A.  

πa328\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{8}

B.  

πa3327\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{3}}{27}

C.  

πa322\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{2}

D.  

πa3227\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{27}

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng aa. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với SOS O và cắt SOS O, SAS A, SBS B, SCS C, SDS D lần lượt tại II, MM, NN, PP, QQ. Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQM N P Q và một đáy nằm trên mặt phẳng (ABCD)\left( A B C D \right). Thể tích khối trụ lớn nhất bằng
A. πa328\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{8}B. πa3327\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{3}}{27}C. πa322\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{2}D. πa3227\dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{27}
Lời giải



Ta có OC=AC2=a22O C = \dfrac{A C}{2} = \dfrac{a \sqrt{2}}{2} ⇒SO=a2−a22=a22\Rightarrow S O = \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}.
Do (MNPQ)\left( M N P Q \right) song song với mặt đáy nên IPOC=SISO⇔IPa22=SIa22⇔IP=SI\dfrac{I P}{O C} = \dfrac{S I}{S O} \Leftrightarrow \dfrac{I P}{\dfrac{a \sqrt{2}}{2}} = \dfrac{S I}{\dfrac{a \sqrt{2}}{2}} \Leftrightarrow I P = S I.
⇒IO=SO−OI=a22−IP\Rightarrow I O = S O - O I = \dfrac{a \sqrt{2}}{2} - I P.
Khi đó ta có thể tích khối trụ là V=IO.π.IP2=π(a22−IP)IP2V = I O . \pi . I P^{2} = \pi \left( \dfrac{a \sqrt{2}}{2} - I P \right) I P^{2}
Cách 1:
Đặt x=IPx = I P với 0<x<a220 < x < \dfrac{a \sqrt{2}}{2}, khi đó:
Xét hàm số f(x)=(a22−x)x2f \left( x \right) = \left( \dfrac{a \sqrt{2}}{2} - x \right) x^{2} với 0<x<a220 < x < \dfrac{a \sqrt{2}}{2}
Ta có
Bảng biến thiên:



Từ bảng biến thiên ta thấy maxx∈(0;a22)f(x)=f(a23)=a3227\underset{x \in \left( 0 ; \dfrac{a \sqrt{2}}{2} \right)}{max} f \left( x \right) = f \left( \dfrac{a \sqrt{2}}{3} \right) = \dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{27} ⇒Vmax=πa3227\Rightarrow V_{max} = \dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{27}.
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm:
V=12π(a2−2IP)IP.IP≤12π((a2−2IP+IP+IP))327=πa3227V = \dfrac{1}{2} \pi \left( a \sqrt{2} - 2 I P \right) I P . I P \leq \dfrac{1}{2} \pi \dfrac{\left(\left( a \sqrt{2} - 2 I P + I P + I P \right)\right)^{3}}{27} = \dfrac{\pi a^{3} \sqrt{2}}{27}.
Đẳng thức xảy ra ⇔a2−2IP=IP⇔IP=a23\Leftrightarrow a \sqrt{2} - 2 I P = I P \Leftrightarrow I P = \dfrac{a \sqrt{2}}{3}.


 

Câu hỏi tương tự:

#7824 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông tâm OO cạnh 2a2 a và SO=a.S O = a . Khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right) bằng

Lượt xem: 133,035 Cập nhật lúc: 01:36 05/11/2024

#8810 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60∘60 \circ. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDS . A B C D có bán kính R=3.R = \sqrt{3} . Tính thể tích của khối chóp S.ABCS . A B C.

Lượt xem: 149,799 Cập nhật lúc: 11:58 07/11/2024

#7903 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng aa và chiều cao bằng a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

Lượt xem: 134,378 Cập nhật lúc: 01:40 08/11/2024

#8348 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng 2a,2 a , OO là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SOS O và ABA B bằng

Lượt xem: 141,945 Cập nhật lúc: 13:32 10/11/2024

#8143 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có OO là giao điểm của ACA C và BDB D, AB=SA=aA B = S A = a. Khoảng cách từ OO tới mặt phẳng (SAD)\left( S A D \right) bằng

Lượt xem: 138,457 Cập nhật lúc: 19:33 10/11/2024

#8167 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có đáy cạnh bằng aa, cạnh bên bằng a52\dfrac{a \sqrt{5}}{2}. Số góc đo giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right) và (ABCD)\left( A B C D \right) là

Lượt xem: 138,880 Cập nhật lúc: 21:57 19/11/2024

#8247 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng aa (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ BBđến mặt phẳng (SAC)\left( S A C \right) bằng

Lượt xem: 140,255 Cập nhật lúc: 04:07 20/11/2024

#8391 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M là trung điểm của SB. Thể tích hình chóp S.ACM bằng

Lượt xem: 142,679 Cập nhật lúc: 06:09 05/11/2024

#11158 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tam giác đều S.ABCS . A B C có cạnh đáy bằng 2a2 a và chiều cao bằng a2a \sqrt{2} (tham khảo hình vẽ dưới đây)



Khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (SBC)\left( S B C \right) bằng

Lượt xem: 189,707 Cập nhật lúc: 19:07 15/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - Lương Thế Vinh - Lần 1THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

391 lượt xem 168 lượt làm bài