Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #11394

Cho khối chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a,a , cạnh bên SA=y  (y>0).S A = y \textrm{ }\textrm{ } \left( y > 0 \right) . và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)\left( A B C D \right). Trên cạnh ADA D lấy điểm MM và đặt AM=x (0<x<a).A M = x \textrm{ } \left( 0 < x < a \right) . Tính thể tích lớn nhất VmaxV_{max} của khối chóp S.ABCM,S . A B C M , biết x2+y2=a2.x^{2} + y^{2} = a^{2} .

A.  

a338\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{8}

B.  

a339\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

C.  

a333\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

D.  

a337\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{7}

Đáp án đúng là: A

Cho khối chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a,a , cạnh bên SA=y  (y>0).S A = y \textrm{ }\textrm{ } \left( y > 0 \right) . và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)\left( A B C D \right). Trên cạnh ADA D lấy điểm MM và đặt AM=x (0<x<a).A M = x \textrm{ } \left( 0 < x < a \right) . Tính thể tích lớn nhất VmaxV_{max} của khối chóp S.ABCM,S . A B C M , biết x2+y2=a2.x^{2} + y^{2} = a^{2} .
A. a338\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{8}B. a339\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{9}C. a333\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3}D. a337\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{7}
Lời giải



Theo đề bài, ta có 0<x<a0 < x < avà y=a2−x2y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}.
Khi đó VS.ABCM=13.SABCM.SA=13.(x+a)a2.y=16aa2−x2(x+a)V_{S . A B C M} = \dfrac{1}{3} . S_{A B C M} . S A = \dfrac{1}{3} . \dfrac{\left( x + a \right) a}{2} . y = \dfrac{1}{6} a \sqrt{a^{2} - x^{2}} \left( x + a \right)
Ta xét hàm số f(x)=(x+a)a2−x2f \left( x \right) = \left( x + a \right) \sqrt{a^{2} - x^{2}}với 0<x<a0 < x < a
f′(x)=−2x2−ax+a2a2−x2f^{'} \left( x \right) = \dfrac{- 2 x^{2} - a x + a^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} ⇒f′(x)=0⇔x=a2\Rightarrow f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}
Ta có bảng biến thiên của f(x)f \left( x \right)



Vậy max(0;a)f(x)=f(a2)=3a234\underset{\left( 0 ; a \right)}{max} f \left( x \right) = f \left( \dfrac{a}{2} \right) = \dfrac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} suy ra max(0;a)VS.ABCM=a338\underset{\left( 0 ; a \right)}{max} V_{S . A B C M} = \dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{8}(đvtt).


 

Câu hỏi tương tự:

#8288 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp S.ABCDS . A B C Dcó đáy là hình vuông cạnh aa, SAS A vuông góc với mặt phẳng đáy và SCS C tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng (60)0\left(60\right)^{0}.Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 140,923 Cập nhật lúc: 03:54 16/11/2024

#8710 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng aa và chiều cao bằng 3a3 a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 148,096 Cập nhật lúc: 05:41 22/11/2024

#8862 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh aa và chiều cao bằng 4a4 a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 150,680 Cập nhật lúc: 06:18 22/11/2024

#8395 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Lượt xem: 142,759 Cập nhật lúc: 07:34 22/11/2024

#7741 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh aa và chiều cao bằng 4a4 a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 131,626 Cập nhật lúc: 06:27 22/11/2024

#8425 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCD\text{S} . \text{ABCD} có đáy ABCD\text{ABCD} là hình vuông có cạnh bằng a,SA⊥(ABCD)a , S A \bot \left( A B C D \right) SA=a3S A = a \sqrt{3}. Tính thể tích khối chóp S.ABCD\text{S}.\text{ABCD}.

Lượt xem: 143,254 Cập nhật lúc: 06:56 22/11/2024

#8885 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a2a \sqrt{2} và chiều cao bằng 2a2 a. Thể tích của khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng:

Lượt xem: 151,101 Cập nhật lúc: 06:59 22/11/2024

#8923 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh aa. Biết SA⊥(ABCD)S A \bot \left( A B C D \right) và SA=a3S A = a \sqrt{3}. Thể tích của khối chóp S.ABCDS . A B C D là:

Lượt xem: 151,756 Cập nhật lúc: 09:14 22/11/2024

#8042 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác S.ABCDS . A B C Dcó đáy là hình vuông cạnh AB=a, SA⊥(ABCD)A B = a , \textrm{ } S A \bot \left( A B C D \right)và SA=aS A = a. Thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng

Lượt xem: 136,782 Cập nhật lúc: 15:34 20/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

Đề Thi Thử TN THPT 2023 Môn Toán - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 1 (Có Giải Chi Tiết)THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

223 lượt xem 63 lượt làm bài