Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #11394

Cho khối chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a,a , cạnh bên SA=y  (y>0).S A = y \textrm{ }\textrm{ } \left( y > 0 \right) . và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)\left( A B C D \right). Trên cạnh ADA D lấy điểm MM và đặt AM=x (0<x<a).A M = x \textrm{ } \left( 0 < x < a \right) . Tính thể tích lớn nhất VmaxV_{max} của khối chóp S.ABCM,S . A B C M , biết x2+y2=a2.x^{2} + y^{2} = a^{2} .

A.  

a338\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{8}

B.  

a339\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

C.  

a333\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

D.  

a337\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{7}

Đáp án đúng là: A

Cho khối chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a,a , cạnh bên SA=y  (y>0).S A = y \textrm{ }\textrm{ } \left( y > 0 \right) . và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)\left( A B C D \right). Trên cạnh ADA D lấy điểm MM và đặt AM=x (0<x<a).A M = x \textrm{ } \left( 0 < x < a \right) . Tính thể tích lớn nhất VmaxV_{max} của khối chóp S.ABCM,S . A B C M , biết x2+y2=a2.x^{2} + y^{2} = a^{2} .
A. a338\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{8}B. a339\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{9}C. a333\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3}D. a337\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{7}
Lời giải



Theo đề bài, ta có 0<x<a0 < x < avà y=a2−x2y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}.
Khi đó VS.ABCM=13.SABCM.SA=13.(x+a)a2.y=16aa2−x2(x+a)V_{S . A B C M} = \dfrac{1}{3} . S_{A B C M} . S A = \dfrac{1}{3} . \dfrac{\left( x + a \right) a}{2} . y = \dfrac{1}{6} a \sqrt{a^{2} - x^{2}} \left( x + a \right)
Ta xét hàm số f(x)=(x+a)a2−x2f \left( x \right) = \left( x + a \right) \sqrt{a^{2} - x^{2}}với 0<x<a0 < x < a
f′(x)=−2x2−ax+a2a2−x2f^{'} \left( x \right) = \dfrac{- 2 x^{2} - a x + a^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} ⇒f′(x)=0⇔x=a2\Rightarrow f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}
Ta có bảng biến thiên của f(x)f \left( x \right)



Vậy max(0;a)f(x)=f(a2)=3a234\underset{\left( 0 ; a \right)}{max} f \left( x \right) = f \left( \dfrac{a}{2} \right) = \dfrac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} suy ra max(0;a)VS.ABCM=a338\underset{\left( 0 ; a \right)}{max} V_{S . A B C M} = \dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{8}(đvtt).


 

Câu hỏi tương tự:

#8288 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp S.ABCDS . A B C Dcó đáy là hình vuông cạnh aa, SAS A vuông góc với mặt phẳng đáy và SCS C tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng (60)0\left(60\right)^{0}.Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 140,974 Cập nhật lúc: 15:42 26/04/2025

#8862 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh aa và chiều cao bằng 4a4 a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 150,723 Cập nhật lúc: 17:42 26/04/2025

#8710 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng aa và chiều cao bằng 3a3 a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 148,144 Cập nhật lúc: 21:19 26/04/2025

#8885 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a2a \sqrt{2} và chiều cao bằng 2a2 a. Thể tích của khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng:

Lượt xem: 151,194 Cập nhật lúc: 19:01 26/04/2025

#7741 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh aa và chiều cao bằng 4a4 a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 131,690 Cập nhật lúc: 17:49 26/04/2025

#8923 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh aa. Biết SA⊥(ABCD)S A \bot \left( A B C D \right) và SA=a3S A = a \sqrt{3}. Thể tích của khối chóp S.ABCDS . A B C D là:

Lượt xem: 151,852 Cập nhật lúc: 14:37 26/04/2025

#8334 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông ABCDA B C D cạnh aa, cạnh bên SAS A vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a2S A = a \sqrt{2}. Thể tích của khối chóp S.ABCDS . A B C D là

Lượt xem: 141,824 Cập nhật lúc: 11:49 26/04/2025

#7668 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh 2a2 a và SAS A vuông góc với đáy. Góc giữa SCS C và đáy bằng (45)@\left(45\right)^{@}. Thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng.

Lượt xem: 130,442 Cập nhật lúc: 22:17 26/04/2025

#8376 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh aa, mặt bên SABS A B nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD)\left( A B C D \right), SAB^=(30)0\widehat{S A B} = \left(30\right)^{0}, SA=2aS A = 2 a. Tính thể tích VV của khối chóp S.ABCD.S . A B C D .

Lượt xem: 142,541 Cập nhật lúc: 14:39 26/04/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

Đề Thi Thử TN THPT 2023 Môn Toán - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 1 (Có Giải Chi Tiết)

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

313 xem9 thi