Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ với $y \leq 20$ thỏa mãn:
$\left(log\right)_{2023} \dfrac{x + 1}{y + 1} + x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} \leq \left( y + 2 \right) y^{3}$?

A.  

$380$

B.  

$210$

C.  

$420$

D.  

$200$

Đáp án đúng là: B

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ với $y \leq 20$ thỏa mãn:
$\left(log\right)_{2023} \dfrac{x + 1}{y + 1} + x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} \leq \left( y + 2 \right) y^{3}$?
A. $380$B. $210$C. $420$D. $200$
Lời giải
$\left(log\right)_{2023} \dfrac{x + 1}{y + 1} + x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} \leq \left( y + 2 \right) y^{3}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left(log\right)_{2023} \dfrac{\left(\left( x + 1 \right)\right)^{2}}{\left(\left( y + 1 \right)\right)^{2}} + y^{2} \left( x^{2} + 2 x \right) \leq y^{2} \left( y^{2} + 2 y \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left(log\right)_{2023} \dfrac{y^{2} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{2}}{y^{2} \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2}} + y^{2} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{2} \leq y^{2} \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left(log\right)_{2023} \left[\right. y^{2} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{2} \left]\right. + y^{2} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{2} \leq \dfrac{1}{2} \left(log\right)_{2023} \left[\right. y^{2} \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2} \left]\right. + y^{2} \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2} \left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f \left( t \right) = \dfrac{1}{2} \left(log\right)_{2023} t + t$. Ta có $f^{'} \left( t \right) = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{ln2023 . t} + 1 > 0 , \forall t > 0$.
Nên $f \left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; + \infty \right)$, khi đó:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow y^{2} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{2} \leq y^{2} \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2} \Leftrightarrow x + 1 \leq y + 1 \Leftrightarrow x \leq y \left( x , y > 0 \right)$.
Với $y = n$ $\left( 1 \leq n \leq 20 \right)$ thì ta có được $n$ giá trị nguyên dương $x$ tương ứng.
Nên số cặp nguyên dương $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn là $\sum_{k = 1}^{20} k = 210$.