Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y = \left|\right. x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m \left|\right.$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1 ; + \infty \right)$?

A.  

20.

B.  

18.

C.  

19.

D.  

21.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số
$y = \left| x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m \left|\right. \Leftrightarrow y^{'} = \dfrac{\left(\right. 3 x^{2} - 2 m x + 12 \right) \left( x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m \right)}{\left|\right. x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m \left|\right.}$.
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1 ; + \infty \right) \Leftrightarrow y^{'} \geq 0 \text{ } \forall x \in \left( 1 ; + \infty \right)$
$\Leftrightarrow \left( 3 x^{2} - 2 m x + 12 \right) \left( x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m \right) \geq 0 \text{ } \forall x \in \left( 1 ; + \infty \right)$
$\left{\right. 3 x^{2} - 2 m x + 12 \geq 0 \\ x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m \geq 0 \text{ } \forall x \in \left( 1 ; + \infty \right) \Leftrightarrow \left{\right. m \leq \dfrac{3 x^{2} + 12}{2 x} \\ x^{3} + 12 x \geq m x^{2} - 2 m \text{ } \forall x \in \left( 1 ; + \infty \right)$
+) $m \leq \dfrac{3 x^{2} + 12}{2 x} \text{ } \forall x \in \left( 1 ; + \infty \right)$.
Xét hàm số $y = \dfrac{3 x^{2} + 12}{2 x} = \dfrac{3}{2} x + \dfrac{6}{x} \text{ } \forall x \in \left( 1 ; + \infty \right) \Rightarrow y^{'} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{6}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
Bảng biến thiên:

$\Rightarrow \underset{\left( 1 ; + \infty \right)}{M i n} y = 6 \Rightarrow m \leq 6$.
+) $x^{3} + 12 x \geq m x^{2} - 2 m \text{ } \forall x \in \left( 1 ; + \infty \right)$
Xét khoảng $\left( 1 ; \sqrt{2} \right)$: $x^{3} + 12 x \geq m x^{2} - 2 m \text{ } \Leftrightarrow m \geq \dfrac{x^{3} + 12 x}{x^{2} - 2}$
Xét hàm số $y = \dfrac{x^{3} + 12 x}{x^{2} - 2} \text{ } \forall x \in \left( 1 ; \sqrt{2} \right) \Rightarrow y^{'} = \dfrac{x^{4} - 18 x^{2} - 24}{\left( x^{2} - 2 \right)^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{9 + \sqrt{105}}$.
Bảng biến thiên:

$\Rightarrow m \geq - 13$.
Xét khoảng $\left( \sqrt{2} ; + \infty \right)$: $x^{3} + 12 x \geq m x^{2} - 2 m \text{ } \Leftrightarrow m \leq \dfrac{x^{3} + 12 x}{x^{2} - 2}$
Xét hàm số $y = \dfrac{x^{3} + 12 x}{x^{2} - 2} \text{ } \forall x \in \left( 1 ; \sqrt{2} \right) \Rightarrow y^{'} = \dfrac{x^{4} - 18 x^{2} - 24}{\left( x^{2} - 2 \right)^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{9 + \sqrt{105}}$.
Bảng biến thiên:

$\Rightarrow m \leq 7 , 9$.
$\Rightarrow \left{ m \leq 6 \\ - 13 \leq m \leq 7 , 9 \Leftrightarrow - 13 \leq m \leq 6 , \text{ } m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left{\right. - 13 ; . . . - 1 ; 0 ; 1 ; . . . ; 6 \right}$.
Vậy có 20 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.