Có tất cả bao nhiêu số nguyên y sao cho ứng với mỗi số nguyên y có đúng 5 số nguyên x thỏa mãn $\left(log\right)_{2} \left( x^{2} + 3 \right) - \left(log\right)_{2} \left| 2 y - 8 x \left|\right. + 2 \left(\right. x^{2} + 2 \right)^{2} - \left| 4 x^{3} - y + x \left(\right. 4 - x y \right) \left|\right. < 0$?

(VDC):
Phương pháp:
Dùng hàm đặc trưng
Cách giải:
Ta có:
$\left(\text{log}\right)_{2} \left( x^{2} + 3 \right) - \left(\text{log}\right)_{2} \left| 2 y - 8 x \left|\right. + 2 \left(\right. x^{2} + 2 \right)^{2} - \left| 4 x^{3} - y + x \left(\right. 4 - x y \right) \left|\right. < 0$
$\Leftrightarrow \left(\text{log}\right)_{2} \left( x^{2} + 3 \right) + 2 \left( x^{2} + 2 \right)^{2} < \left(\text{log}\right)_{2} \left| 8 x - 2 y \left|\right. + \left(\right. x^{2} + 1 \right) \left|\right. 4 x - y \left|\right.$
$\Leftrightarrow \left(\text{log}\right)_{2} \left( x^{2} + 3 \right) + 2 \left( x^{2} + 1 \right) \left( x^{2} + 3 \right) + 2 < \left(\text{log}\right)_{2} \left| 8 x - 2 y \left|\right. + \left(\right. x^{2} + 1 \right) \left|\right. 4 x - y \left|\right.$
$\Leftrightarrow \left(\text{log}\right)_{2} 4 \left( x^{2} + 3 \right) + 2 \left( x^{2} + 1 \right) \left( x^{2} + 3 \right) < \left(\text{log}\right)_{2} \left| 8 x - 2 y \left|\right. + \left(\right. x^{2} + 1 \right) \left| 4 x - y \left|\right.$
Xét $f \left(\right. t \right) = \left(\text{log}\right)_{2} \left( 2 t \right) + \left( x^{2} + 1 \right) t$
$f^{'} \left( t \right) = \dfrac{1}{t \text{ln} 2} + x^{2} + 1 < 0 , \forall t > 0$
Do đó hàm số $f \left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; + \infty \right)$
Suy ra $2 \left( x^{2} + 3 \right) < \left|\right. 4 x - y \left|\right. \Leftrightarrow \left[\right. 4 x - y > 2 x^{2} + 6 \\ 4 x - y < - 2 x^{2} - 6 \Leftrightarrow \left[\right. y < - 2 x^{2} + 4 x - 6 = f_{1} \left( x \right) \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( 1 \right) \\ y > 2 x^{2} + 4 x + 6 = f_{2} \left( x \right) \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( 2 \right)$
Ta có: $f_{1}^{'} \left( x \right) = - 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy để với $y$ có đúng 5 nghiệm nguyên $x$ thì $f_{1} \left( 4 \right) \leq y < f_{1} \left( 3 \right) \Leftrightarrow - 22 \leq y < - 12$
Ta có: $f_{2} \left(&nbsp;\right)^{'} \left( x \right) = 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$
Vậy để với $y$ có đúng 5 nghiệm nguyên $x$ thì $f_{2} \left( - 3 \right) < y \leq f_{2} \left( - 4 \right) \Leftrightarrow 12 < y \leq 22$
Mà $y \in \mathbb{Z}$ nên có 22 giá trị thỏa mãn