Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F \left( x \right) , G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2 F \left( 4 \right) - G \left( 4 \right) = 6$ và $2 F \left( 0 \right) - G \left( 0 \right) = 2$. Khi đó $\int_{0}^{2} f \left( 2 x \right) \text{d} x$ bằng:

A.  

4.

B.  

$\dfrac{3}{2}$

C.  

−2.

D.  

2.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $G \left( x \right) = F \left( x \right) + C$
$\left{\right. 2 F \left( 4 \right) - G \left( 4 \right) = 6 \\ 2 F \left( 0 \right) - G \left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow \left{\right. 2 F \left( 4 \right) - \left(\right. F \left( 4 \right) + C \left.\right) = 6 \\ 2 F \left( 0 \right) - \left(\right. F \left( 0 \right) + C \left.\right) = 2 \Leftrightarrow \left{\right. F \left( 4 \right) - C = 6 \\ F \left( 0 \right) - C = 2 \Rightarrow F \left( 4 \right) - F \left( 0 \right) = 4 .$
Đặt $I = \int_{0}^{2} f \left( 2 x \right) \text{d} x$
Đặt $t = 2 x \Rightarrow d t = 2 d x \Rightarrow d x = \dfrac{1}{2} d t$
Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 0 ; x = 2 \Rightarrow t = 4$
$I = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{4} f \left( t \right) d t = \dfrac{1}{2} \left[\right. F \left( 4 \right) - F \left( 0 \right) \left] = \dfrac{4}{2} = 2 .$