Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int_{0}^{3} f \left( \sqrt{x + 1} \right) d x = 8$. Tích phân $\int_{1}^{2} x f \left( x \right) d x$ bằng

A.  

$2$.

B.  

$16$.

C.  

$8$.

D.  

$4$.

Đáp án đúng là: D

Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int_{0}^{3} f \left( \sqrt{x + 1} \right) d x = 8$. Tích phân $\int_{1}^{2} x f \left( x \right) d x$ bằng
A. $2$. B. $16$. C. $8$. D. $4$.
Lời giải
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2 t d t = d x$
Đổi cận: $x = 0$thì $t = 1$; $x = 3$thì $t = 2$.
Ta có: $\int_{0}^{3} f \left( \sqrt{x + 1} \right) d x = 8 \Leftrightarrow 2 \int_{1}^{2} f \left( t \right) t d t = 8 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} f \left( t \right) t d t = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} x f \left( x \right) d x = 4$.