Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F \left( x \right) , G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2 F \left( 11 \right) + G \left( 11 \right) = 55$ và $2 F \left( - 1 \right) + G \left( - 1 \right) = 1$ Khi đó $\int_{0}^{2} x \left( 2 + f \left(\right. 3 x^{2} - 1 \right) \left.\right) \text{d} x$ bằng

A.  

$7$.

B.  

$20$.

C.  

$5$.

D.  

$22$.

Đáp án đúng là: A

Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F \left( x \right) , G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2 F \left( 11 \right) + G \left( 11 \right) = 55$ và $2 F \left( - 1 \right) + G \left( - 1 \right) = 1$ Khi đó $\int_{0}^{2} x \left( 2 + f \left(\right. 3 x^{2} - 1 \right) \left.\right) \text{d} x$ bằng
A. $7$. B. $20$. C. $5$. D. $22$.
Lời giải
Ta có $\int_{0}^{2} x \left( 2 + f \left(\right. 3 x^{2} - 1 \right) \left.\right) \text{d} x = \int_{0}^{2} 2 x \text{d} x + \int_{0}^{2} x f \left( 3 x^{2} - 1 \right) \text{d} x = 4 + \int_{0}^{2} x f \left( 3 x^{2} - 1 \right) \text{d} x = 4 + I$.
Đặt $t = 3 x^{2} - 1 \Rightarrow d t = 6 x d x \Rightarrow \dfrac{1}{6} d t = x d x$.
Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = - 1 ; \textrm{ }\textrm{ } x = 2 \Rightarrow t = 11$.
Suy ra $I = \dfrac{1}{6} \int_{- 1}^{11} f \left( t \right) \text{d} t = \dfrac{1}{6} \int_{- 1}^{11} f \left( x \right) \text{d} x = \dfrac{1}{6} \left(\right. F \left( 11 \right) - F \left( - 1 \right) \left.\right)$.
Vì $F \left( x \right) , G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow F \left( x \right) = G \left( x \right) + C$.
Suy ra $F \left( 11 \right) - F \left( - 1 \right) = G \left( 11 \right) - G \left( - 1 \right)$.
Ta có $\left{\right. 2 F \left( 11 \right) + G \left( 11 \right) = 55 \\ 2 F \left( - 1 \right) + G \left( - 1 \right) = 1 \Rightarrow 2 \left(\right. F \left( 11 \right) - F \left( - 1 \right) \left.\right) + G \left( 11 \right) - G \left( - 1 \right) = 54$
$\Rightarrow 3 \left(\right. F \left( 11 \right) - F \left( - 1 \right) \left.\right) = 54 \Rightarrow F \left( 11 \right) - F \left( - 1 \right) = 18$.
Suy ra $I = 3$. Vậy $\int_{0}^{2} x \left( 2 + f \left(\right. 3 x^{2} - 1 \right) \left.\right) \text{d} x = 4 + 3 = 7$.