Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int_{- 1}^{1} \dfrac{f \left( 3 x \right)}{1 + 2^{x}} \text{d} x = 8$. Tính $\int_{0}^{3} f \left( x \right) \text{d} x$.

A.  

$16$.

B.  

$24$.

C.  

$2$.

D.  

$4$.

Đáp án đúng là: B

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int_{- 1}^{1} \dfrac{f \left( 3 x \right)}{1 + 2^{x}} \text{d} x = 8$. Tính $\int_{0}^{3} f \left( x \right) \text{d} x$.
A. $16$. B. $24$. C. $2$. D. $4$.
Lời giải
Xét $\int_{- 1}^{1} \dfrac{f \left( 3 x \right)}{1 + 2^{x}} \text{d} x = 8 \Leftrightarrow \int_{- 3}^{3} \dfrac{f \left( x \right)}{1 + \left(\sqrt[3]{2}\right)^{x}} \text{d} x = 24$.
Đặt $u = - x \Rightarrow d u = - d x$, do đó: $24 = I = \int_{- 3}^{3} \dfrac{f \left( x \right)}{1 + \left(\sqrt[3]{2}\right)^{x}} \text{d} x = - \int_{3}^{- 3} \dfrac{f \left( - u \right)}{1 + \left(\sqrt[3]{2}\right)^{- u}} \text{d} u = \int_{- 3}^{3} \dfrac{\left(\sqrt[3]{2}\right)^{u} f \left( u \right)}{1 + \left(\sqrt[3]{2}\right)^{u}} \text{d} u$.
Khi đó: $2 I = \int_{- 3}^{3} \dfrac{f \left( x \right)}{1 + \left(\sqrt[3]{2}\right)^{x}} \text{d} x + \int_{- 3}^{3} \dfrac{\left(\sqrt[3]{2}\right)^{x} f \left( x \right)}{1 + \left(\sqrt[3]{2}\right)^{x}} \text{d} x = \int_{- 3}^{3} f \left( x \right) \text{d} x = 2 \int_{0}^{3} f \left( x \right) \text{d} x$ nên $\int_{0}^{3} f \left( x \right) \text{d} x = 24$.