Cho hàm số $y = f \left( x \right)$liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng $\left( - 1 ; + \infty \right)$, có đạo hàm liên
tục, dương trên khoảng $\left( - 1 ; + \infty \right)$, thỏa mãn $f \left( 0 \right) = 4$ và
$\left(\right. f^{'} \left( x \right) \left.\right)^{2} = f \left( x \right) . \dfrac{4}{\left( x + 1 \right)^{2} \left( x^{2} + 2 x + 2 \right)} , \text{ } \forall x \in \left( - 1 ; + \infty \right)$. Khi đó $f \left( \sqrt{3} - 1 \right)$ thuộc khoảng nào sau đây?

A.  

$\left( 0 ; 2 \right)$.

B.  

$\left( 2 ; 4 \right)$.

C.  

$\left( 4 ; 6 \right)$.

D.  

$\left( 6 ; 8 \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $f \left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( - 1 ; + \infty \right)$.
Do đó $\left(\right. f^{'} \left( x \right) \left.\right)^{2} = f \left( x \right) . \dfrac{4}{\left( x + 1 \right)^{2} \left( x^{2} + 2 x + 2 \right)} , \text{ } \forall x \in \left( - 1 ; + \infty \right)$.
suy ra $f^{'} \left( x \right) = \sqrt{f \left( x \right)} . \dfrac{2}{\left( x + 1 \right) \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} , \text{ } \forall x \in \left( - 1 ; + \infty \right)$.
Do đó, $\dfrac{f^{'} \left( x \right)}{2 \sqrt{f \left( x \right)}} = \dfrac{1}{\left( x + 1 \right) \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} , \text{ } \forall x \in \left( - 1 ; + \infty \right)$.
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $\int \dfrac{f^{'} \left( x \right)}{2 \sqrt{f \left( x \right)}} \text{d} x = \int \dfrac{1}{\left( x + 1 \right) \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} \text{d} x$ $\left( 1 \right)$.
+ Tính $I = \int \dfrac{\text{d} x}{\left( x + 1 \right) \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}$.
Đặt $t = \dfrac{1}{x + 1}$, $t > 0$ $\Rightarrow x = \dfrac{1}{t} - 1$ $\Rightarrow \text{d} x = \dfrac{- 1}{t^{2}} \text{d} t$.
$I = - \int \dfrac{\text{d} t}{\sqrt{\left( 1 - 2 t + t^{2} \right) + 2 t \left( 1 - t \right) + 2 t^{2}}}$ $= - \int \dfrac{\text{d} t}{\sqrt{t^{2} + 1}}$.
Đặt $u = t + \sqrt{t^{2} + 1} \Rightarrow \text{d} u = \left( 1 + \dfrac{t}{\sqrt{t^{2} + 1}} \right) \text{d} t$, hay $\text{d} u = \dfrac{t + \sqrt{t^{2} + 1}}{\sqrt{t^{2} + 1}} \text{d} t$, suy ra $\dfrac{\text{d} u}{u} = \dfrac{\text{d} t}{\sqrt{t^{2} + 1}}$.
Suy ra $I = - \int \dfrac{\text{d} u}{u} = - ln u + C$= $- ln \left( t + \sqrt{t^{2} + 1} \right) + C = - ln \left( \dfrac{1}{x + 1} + \sqrt{\left(\right. \dfrac{1}{x + 1} \right)^{2} + 1} \left.\right) + C$.
Do vậy $\sqrt{f \left( x \right)} = - ln \left( \dfrac{1}{x + 1} + \sqrt{\left(\right. \dfrac{1}{x + 1} \right)^{2} + 1} \left.\right) + C$.
Mà $f \left( 0 \right) = 4$ nên $2 = - ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) + C \Leftrightarrow C = 2 + ln \left( 1 + \sqrt{2} \right)$.
Suy ra $\sqrt{f \left( x \right)} = - ln \left( \dfrac{1}{x + 1} + \sqrt{\left(\right. \dfrac{1}{x + 1} \right)^{2} + 1} \left.\right) + 2 + ln \left( 1 + \sqrt{2} \right)$.
Vậy $f \left( \sqrt{3} - 1 \right) = \left( - ln \left(\right. \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{\left(\left(\right. \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2} + 1} \left.\right) + 2 + ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) \left.\right)\right)^{2} ≃ 5 , 4385$.