Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 16 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) + \dfrac{1}{4} x^{4} - \dfrac{2}{3} x^{3} + \dfrac{1}{2} x^{2} + 2023$ đồng biến trên khoảng $\left( 5 ; + \infty \right)$

A.  

$10$.

B.  

$11$.

C.  

$19$.

D.  

$18$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 16 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) + \dfrac{1}{4} x^{4} - \dfrac{2}{3} x^{3} + \dfrac{1}{2} x^{2} + 2023$ đồng biến trên khoảng $\left( 5 ; + \infty \right)$
A. $10$. B. $11$. C. $19$. D. $18$.
Lời giải
$g^{'} \left( x \right) = f^{'} \left( x \right) + x^{3} - 2 x^{2} + x = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 16 \right) + x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 17 \right)$.
Để hàm số $g \left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 5 ; + \infty \right)$ $\Leftrightarrow g^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 17 \right) \geq 0 , \forall x \in \left( 5 ; + \infty \right)$
$\Leftrightarrow x^{2} + m x + 17 \geq 0 , \forall x \in \left( 5 ; + \infty \right)$ $\Leftrightarrow - m \leq x + \dfrac{17}{x} , \forall x \in \left( 5 ; + \infty \right)$.
Xét hàm số $h \left( x \right) = x + \dfrac{17}{x}$ với $x \in \left( 5 ; + \infty \right)$.
Ta có $h^{'} \left( x \right) = 1 - \dfrac{17}{x^{2}} < 0 , \forall x \in \left( 5 ; + \infty \right)$ nên $h \left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 5 ; + \infty \right)$. Khi đó
$- m \leq x + \dfrac{17}{x} \Leftrightarrow - m \leq h \left( 5 \right) = \dfrac{42}{5} \Leftrightarrow m \geq \dfrac{- 42}{5} \Rightarrow m \in \left{ - 8 ; - 7 ; - 6 ; . . . ; 10 \right}$.