Trang chủ   Hỏi & đáp   THPT Quốc gia   Toán   Câu hỏi số #8205  

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có đáy ABCA B C là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên (SAB)\left( S A B \right), (SAC)\left( S A C \right), (SBC)\left( S B C \right) lần lượt tạo với đáy các góc là 30∘, 45∘, 60∘30 \circ , \text{ } 45 \circ , \text{ } 60 \circ. Tính thể tích của khối chóp S.ABCS . A B C. Biết rằng hình chiếu vuông góc của SS trên (ABC)\left( A B C \right) nằm trong tam giác ABCA B C.

A.  

V=2732(4+3)V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}.

B.  

V=2738(4+3)V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{8 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}.

C.  

V=2734+3V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}.

D.  

V=2734(4+3)V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}.

Đáp án đúng là: B

Giải thích đáp án:

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có đáy ABCA B C là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên (SAB)\left( S A B \right), (SAC)\left( S A C \right), (SBC)\left( S B C \right) lần lượt tạo với đáy các góc là 30∘, 45∘, 60∘30 \circ , \text{ } 45 \circ , \text{ } 60 \circ. Tính thể tích của khối chóp S.ABCS . A B C. Biết rằng hình chiếu vuông góc của SS trên (ABC)\left( A B C \right) nằm trong tam giác ABCA B C.
A. V=2732(4+3)V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}. B. V=2738(4+3)V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{8 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}. C. V=2734+3V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}. D. V=2734(4+3)V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}.
Lời giải
Gọi HH là hình chiếu của SS lên (ABC)\left( A B C \right).
Đặt SH=hS H = h



Hạ HI, HJ, HKH I , \text{ } H J , \text{ } H K lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC, ACA B , \text{ } B C , \text{ } A C.
Xét ΔSHI\Delta S H I: tan30∘=SHHI⇒HI=h3tan30 \circ = \dfrac{S H}{H I} \Rightarrow H I = h \sqrt{3}
Xét ΔSHJ\Delta S H J: tan60∘=SHHJ⇒HJ=h3tan60 \circ = \dfrac{S H}{H J} \Rightarrow H J = \dfrac{h}{\sqrt{3}}
Xét ΔSHK\Delta S H K: tan45∘=SHHK⇒HK=htan45 \circ = \dfrac{S H}{H K} \Rightarrow H K = h
Xét ΔABC\Delta A B C:
SABC=SHAB+SHBC+SHAC=12HI.AB+12HJ.BC+12HK.AC=12.h3.3+12.h3.3+12.h.3=h(4+3)32S_{A B C} = S_{H A B} + S_{H B C} + S_{H A C} = \dfrac{1}{2} H I . A B + \dfrac{1}{2} H J . B C + \dfrac{1}{2} H K . A C \\ = \dfrac{1}{2} . h \sqrt{3} . 3 + \dfrac{1}{2} . \dfrac{h}{\sqrt{3}} . 3 + \dfrac{1}{2} . h . 3 \\ = \dfrac{h \left( 4 + \sqrt{3} \right) \sqrt{3}}{2}
Mà SABC=3.AB24=3.324S_{A B C} = \dfrac{\sqrt{3} . A B^{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{3} . 3^{2}}{4}
Nên: h(4+3)32=3.324⇔h=92(4+3)\dfrac{h \left( 4 + \sqrt{3} \right) \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3} . 3^{2}}{4} \Leftrightarrow h = \dfrac{9}{2 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}.
Vậy: VS.ABC=13.h.SABC=2738(4+3)V_{S . A B C} = \dfrac{1}{3} . h . S_{A B C} = \dfrac{27 \sqrt{3}}{8 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}.

Câu hỏi tương tự:

#7747 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABC\text{S} . \text{ABC} có đáy ABC\text{ABC} là tam giác đều cạnh a\text{a}, đường thẳng SA\text{SA} vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a2\text{SA} = \dfrac{3 \text{a}}{2}. Góc giữa hai mặt phẳng và (ABC)\left( \text{ABC} \right) bằng

Lượt xem: 131,716 Cập nhật lúc: 17:55 30/07/2024

#8571 THPT Quốc giaToán

Cho hình chớp S.ABCS . A B C có đáy là tam giác đều cạnh a,SAa , S A vuông góc mặt phẳng đáy, SB=3aS B = \sqrt{3} a (tham khảo hình vẽ)



Khoảng cách từ trung điểm MM của SAS A đến mặt phẳng (SBC)\left( S B C \right) bằng

Lượt xem: 145,721 Cập nhật lúc: 19:47 31/07/2024

#7529 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có đáy là tam giác đều cạnh a,a , cạnh bên SAS A vuông góc với đáy và SA=a3S A = a \sqrt{3}. Tính thể tích khối chóp S.ABC.S . A B C .

Lượt xem: 128,006 Cập nhật lúc: 04:38 03/08/2024

#11178 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình bình hành. Mặt bên SADS A D là tam giác đều cạnh a3a \sqrt{3}. ACDA C D là tam giác vuông tại AA có cạnh AC=aA C = a, góc giữa đường thẳng ABA B và mặt phẳng (SAD)\left( S A D \right) bằng (60)0\left(60\right)^{0}. Thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng

Lượt xem: 190,035 Cập nhật lúc: 22:50 19/08/2024

#8348 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng 2a,2 a , OO là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SOS O và ABA B bằng

Lượt xem: 141,933 Cập nhật lúc: 04:53 01/08/2024

#7807 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S⋅ABCDS \cdot A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh aa. Biết tam giác SABS A B đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi MM là trung điểm của SDS D. Gọi α\alpha là góc giữa hai mặt phẳng (MBC)\left( M B C \right) và (ABCD)\left( A B C D \right). Tính cosα\text{cos} \alpha.

Lượt xem: 132,734 Cập nhật lúc: 04:21 01/08/2024

#7824 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông tâm OO cạnh 2a2 a và SO=a.S O = a . Khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right) bằng

Lượt xem: 133,024 Cập nhật lúc: 05:14 31/07/2024

#8395 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Lượt xem: 142,730 Cập nhật lúc: 21:27 04/08/2024

#8005 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có đáy ABCA B C là tam giác đều và SAS A vuông góc với đáy, AB=aA B = a. Khoảng cách từ CC đến mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right) bằng

Lượt xem: 136,118 Cập nhật lúc: 21:29 31/07/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN -THPT-YÊN-LẠC-LẦN-3 THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

1,317 lượt xem 693 lượt làm bài