Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên $\left( S A B \right)$, $\left( S A C \right)$, $\left( S B C \right)$ lần lượt tạo với đáy các góc là $30 \circ , \text{ } 45 \circ , \text{ } 60 \circ$. Tính thể tích của khối chóp $S . A B C$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( A B C \right)$ nằm trong tam giác $A B C$.

A.  

$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$.

B.  

$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{8 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$.

C.  

$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}$.

D.  

$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$.

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên $\left( S A B \right)$, $\left( S A C \right)$, $\left( S B C \right)$ lần lượt tạo với đáy các góc là $30 \circ , \text{ } 45 \circ , \text{ } 60 \circ$. Tính thể tích của khối chóp $S . A B C$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( A B C \right)$ nằm trong tam giác $A B C$.
A. $V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$. B. $V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{8 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$. C. $V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}$. D. $V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$.
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $\left( A B C \right)$.
Đặt $S H = h$

Hạ $H I , \text{ } H J , \text{ } H K$ lần lượt vuông góc với các cạnh $A B , \text{ } B C , \text{ } A C$.
Xét $\Delta S H I$: $tan30 \circ = \dfrac{S H}{H I} \Rightarrow H I = h \sqrt{3}$
Xét $\Delta S H J$: $tan60 \circ = \dfrac{S H}{H J} \Rightarrow H J = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$
Xét $\Delta S H K$: $tan45 \circ = \dfrac{S H}{H K} \Rightarrow H K = h$
Xét $\Delta A B C$:
$S_{A B C} = S_{H A B} + S_{H B C} + S_{H A C} = \dfrac{1}{2} H I . A B + \dfrac{1}{2} H J . B C + \dfrac{1}{2} H K . A C \\ = \dfrac{1}{2} . h \sqrt{3} . 3 + \dfrac{1}{2} . \dfrac{h}{\sqrt{3}} . 3 + \dfrac{1}{2} . h . 3 \\ = \dfrac{h \left( 4 + \sqrt{3} \right) \sqrt{3}}{2}$
Mà $S_{A B C} = \dfrac{\sqrt{3} . A B^{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{3} . 3^{2}}{4}$
Nên: $\dfrac{h \left( 4 + \sqrt{3} \right) \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3} . 3^{2}}{4} \Leftrightarrow h = \dfrac{9}{2 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$.
Vậy: $V_{S . A B C} = \dfrac{1}{3} . h . S_{A B C} = \dfrac{27 \sqrt{3}}{8 \left( 4 + \sqrt{3} \right)}$.