Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 chiều cao bằng 6, một khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón đã cho (như hình vẽ). Khi thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ bằng

A.  

8π8 \pi.

B.  

12π12 \pi.

C.  

16π16 \pi.

D.  

10π10 \pi.

Đáp án đúng là: C



Gọi bán kính của khối trụ là x  (0<x<3)x \textrm{ }\textrm{ } \left( 0 < x < 3 \right), chiều cao của khối trụ là h=OO (0<h<6)h = O O^{'} \textrm{ } \left( 0 < h < 6 \right).
Khi đó thể tích khối trụ là: V=πx2hV = \pi x^{2} h.
Ta có: ΔSON\Delta S O^{'} N đồng dạng với ΔSOB\Delta S O B nên có ONOB=SOSOx3=6h6h=62x\dfrac{O^{'} N}{O B} = \dfrac{S O^{'}}{S O} \Leftrightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{6 - h}{6} \Leftrightarrow h = 6 - 2 x.
Suy ra V=πx2h=πx2(62x)=π(6x22x3)V = \pi x^{2} h = \pi x^{2} \left( 6 - 2 x \right) = \pi \left( 6 x^{2} - 2 x^{3} \right).
Xét hàm f(x)=6x22x3,   (0<x<3)f \left( x \right) = 6 x^{2} - 2 x^{3} , \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( 0 < x < 3 \right).
f(x)=12x6x2f^{'} \left( x \right) = 12 x - 6 x^{2}.
f(x)=0[x=0  (l)x=2  (n)f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 0 \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. l \right) \\ x = 2 \textrm{ }\textrm{ } \left( n \right)
Bảng biến thiên:



Do đó VV lớn nhất khi hàm f(x)f \left( x \right) đạt giá trị lớn nhất.
Vậy thể tích của khối trụ lớn nhất là V=8πV = 8 \pi khi bán kính khối trụ bằng r=2h=2r = 2 \Rightarrow h = 2
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ bằng 2πrh+2πr2=16π.2 \pi r h + 2 \pi r^{2} = 16 \pi .


 

Câu hỏi tương tự:

#8750 THPT Quốc giaToán

Cho hình nón có bán kính đáy bằng aa và chiều cao bằng aa. Độ dài đường sinh của hình nón bằng

Lượt xem: 148,773 Cập nhật lúc: 06:47 05/11/2024

#8525 THPT Quốc giaToán

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a4 a, chiều cao là 3a3 a. Diện tích toàn phần của hình nón bằng

Lượt xem: 144,959 Cập nhật lúc: 01:54 09/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

37 . Đề thi thử TN THPT môn Toán năm 2024 - THPT TRIỆU SƠN 3 - TH.docxTHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

4,763 lượt xem 2,527 lượt làm bài