Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 chiều cao bằng 6, một khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón đã cho (như hình vẽ). Khi thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ bằng

Hình ảnh

A.  

8π8 \pi.

B.  

12π12 \pi.

C.  

16π16 \pi.

D.  

10π10 \pi.

Đáp án đúng là: C



Gọi bán kính của khối trụ là x  (0<x<3)x \textrm{ }\textrm{ } \left( 0 < x < 3 \right), chiều cao của khối trụ là h=OO (0<h<6)h = O O^{'} \textrm{ } \left( 0 < h < 6 \right).
Khi đó thể tích khối trụ là: V=πx2hV = \pi x^{2} h.
Ta có: ΔSON\Delta S O^{'} N đồng dạng với ΔSOB\Delta S O B nên có ONOB=SOSOx3=6h6h=62x\dfrac{O^{'} N}{O B} = \dfrac{S O^{'}}{S O} \Leftrightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{6 - h}{6} \Leftrightarrow h = 6 - 2 x.
Suy ra V=πx2h=πx2(62x)=π(6x22x3)V = \pi x^{2} h = \pi x^{2} \left( 6 - 2 x \right) = \pi \left( 6 x^{2} - 2 x^{3} \right).
Xét hàm f(x)=6x22x3,   (0<x<3)f \left( x \right) = 6 x^{2} - 2 x^{3} , \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( 0 < x < 3 \right).
f(x)=12x6x2f^{'} \left( x \right) = 12 x - 6 x^{2}.
f(x)=0[x=0  (l)x=2  (n)f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 0 \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. l \right) \\ x = 2 \textrm{ }\textrm{ } \left( n \right)
Bảng biến thiên:



Do đó VV lớn nhất khi hàm f(x)f \left( x \right) đạt giá trị lớn nhất.
Vậy thể tích của khối trụ lớn nhất là V=8πV = 8 \pi khi bán kính khối trụ bằng r=2h=2r = 2 \Rightarrow h = 2
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ bằng 2πrh+2πr2=16π.2 \pi r h + 2 \pi r^{2} = 16 \pi .


 

Câu hỏi tương tự:


Đề thi chứa câu hỏi này:

37 . Đề thi thử TN THPT môn Toán năm 2024 - THPT TRIỆU SƠN 3 - TH.docxTHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

4,768 lượt xem 2,527 lượt làm bài